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% Classe de document
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\documentclass[a4paper,11pt,x11names]{article}

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% Encodage, langue
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\usepackage[latin1]{inputenc} % (UTF-8 possible si migration)
\usepackage[french]{babel}
\frenchbsetup{StandardLists=true}

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% Mathématiques
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\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{dsfont}

\newcommand{\R}{\mathds{R}}
\newcommand{\N}{\mathds{N}}
\newcommand{\Z}{\mathds{Z}}
\newcommand{\C}{\mathds{C}}

\def\ds{\displaystyle}

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% Mise en page générale
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\usepackage[left=2cm,right=1.5cm,top=2cm,bottom=2cm]{geometry}

\setlength{\parindent}{0pt}
\hyphenpenalty=10000 % empêche la coupure de mots

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% En-têtes et pieds de page
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\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{lastpage}

\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}

\setlength{\headheight}{26pt}
\setlength{\footskip}{18pt}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0pt}

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% Tableaux
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\usepackage{array}
\usepackage{tabularx}
\renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}} % centrage vertical

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% Colonnes, listes, divers
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\usepackage{multicol}
\setlength{\columnseprule}{0.5pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}

\usepackage{enumerate}%\usepackage{enumitem}
\usepackage{setspace}
\usepackage[np]{numprint}
\DecimalMathComma

\usepackage{eurosym}

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% Graphiques (PSTricks)
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\usepackage{pstricks-add}
\usepackage{tikz}\usepackage{tkz-tab} 
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% Macros utilitaires
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\def\tvi{\vrule height 20pt depth 20pt width 0pt}

% =========================================================
% Paramètres document
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\def\monnumero{3}
\def\madate{Octobre 2026}

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% En-tête / pied de page
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\lhead{\footnotesize\textsf{Lycée Schuman Perret\\ \madate}}
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{Série d'exercices No~\monnumero\\La transformation de Laplace}}}}}
\rhead{\footnotesize \textsf{BTS Cira\textsuperscript{2}}}

\lfoot{\scriptsize\textsf{\textsc{Stéphane Le Méteil}}}
\rfoot{\scriptsize\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}

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% Environnements Exercices
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\newcounter{nexo}\setcounter{nexo}{0}
\newcounter{ncor}\setcounter{ncor}{0}

\newcommand{\affichepoints}[1]{\reversemarginpar\if\relax\detokenize{#1}\relax\else\marginpar{\hspace*{0.5cm}\footnotesize#1\ifdim#1pt>1pt  \tiny{pts}\else \tiny{pt}\fi}\fi}

\newcommand{\points}[1]{\hskip -1.5cm {\blue\tiny #1}\hskip 1cm}

\newcommand{\exo}[1][]{\bigskip\stepcounter{nexo}\vskip0.0cm\par\noindent\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{\small 
				EXERCICE~\arabic{nexo}}}}\affichepoints{#1}\quad}

\newcommand{\cor}[1][]{\bigskip\stepcounter{ncor}\vskip0.3cm\par\noindent\textsf{\textbf{\textcolor{red}{\small CORRIGÉ~\arabic{ncor}}}}\affichepoints{#1}\quad}

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% OUTILS
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\usepackage{pgf}
\usepackage{multicol}
\def\e{\text{e}}

\usepackage{paralist}
\usepackage{eso-pic} % pour avoir un trait de marge vertical
\newlength{\positionbarre}
\setlength{\positionbarre}{1.7 cm}% à changer selon les besoin
\AddToShipoutPicture{%
\put(\LenToUnit{\positionbarre},\LenToUnit{0.05\paperheight}){\begin{picture}(0,0)(0,0) \color{red}\line(0,1){\LenToUnit{0.85\paperheight}}\end{picture}}
}
\makeatother

\begin{document}%\everymath{\displaystyle}
\setdefaultleftmargin{0.6cm}{0.5cm}{}{}{}{}

\exo Dessiner la fonction définie sur $\R$ par : $f(t)  = tU(t) - (t-2)U(t-2)$

\exo Déterminer une expression de la fonction ayant pour graphe :

\vskip -1cm\hfill\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.3cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=1.6pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-2.46,-1.5)(3.74,4.38)
\multips(0,0)(0,1.0){6}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(-2.46,0)(3.74,0)}
\multips(-2,0)(1.0,0){7}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(0,-0.88)(0,4.38)}
\psaxes[linewidth=1pt,labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-2.46,-0.88)(3.74,4.38)
\psline[linewidth=1.8pt,linecolor=red](-3.,0.)(1.,0.)
\psline[linewidth=1.pt,linestyle=dashed,dash=1pt 1pt](1.,0.)(1.,3.)
\psline[linewidth=1.8pt,linecolor=red](1.,3.)(2.,3.)
\psline[linewidth=1.pt,linestyle=dashed,dash=1pt 1pt](2.,3.)(2.,0.)
\psline[linewidth=1.8pt,linecolor=red](2.,0.)(4.06,0.)
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](1.,3.)
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](2.,0.)
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}

\vskip -1cm

\exo Décomposer en éléments simples :

\begin{itemize}

\item $F_1(p) = \dfrac{1}{(p+1)(p-5)}$\qquad  puis \qquad $G_1(p) = \dfrac{1}{p(p-5)}$

\item $F_2(p) = \dfrac{7p+1}{(p-3)(p+1)}$ \qquad  puis \qquad  $G_2(p) = \dfrac{7p+1}{(p+1)(p-2)}$

\item $F_3(p) = \dfrac{5p}{(2p-1)(p+1)}$ \qquad  puis \qquad  $G_3(p) = \dfrac{6}{(p+1)(2p+5)}$

\item $F_4(p) = \dfrac{1}{p^2(p+1)}$ \qquad  puis \qquad  $G_4(p) = \dfrac{p+2}{p^2(p+2)}$

\end{itemize}

\exo On souhaite résoudre $y'+3y = 4U(t)$ sachant que $y(0)= 2$ en utilisant la transformée de Laplace. Recopier et compléter le raisonnement suivant : \bigskip


\hfill\fbox{\begin{minipage}{0.9\linewidth}\medskip
Transformons en Laplace, on obtient : $ pY  - 2  + 3  Y =...... $   \bigskip

Puis : $ (p + 3 )Y = ..... $  \bigskip

Enfin :  $ Y =  \dfrac{ 2 }{p + 3 }  + .......  $  \bigskip

Décomposons en éléments simples ce qui doit l'être :  $  \dfrac{ 4 }{p\left(p + 3 \right)}  $  

On note : $ G(p) =  \dfrac{ 4 }{p\left(p + 3 \right)}   = \dfrac{A}{p}+\dfrac{B}{p + 3 } $ \bigskip

Pour trouver $ A $, on calcule $ \lim\limits_{p\to 0} p\times G(p) = ..... = A+0$ donc $ A =  .....  $ \bigskip

Pour trouver $ B $, on calcule $ \lim\limits_{p\to  - 3 } (p  + 3 )\times G(p) = ..... = 0+B$ donc $ B = .....  $ \bigskip

On a donc $ G(p) =   ...............  -  .............................$ \bigskip

Puis $ Y(p) =  \dfrac{ 2 }{p + 3 }  +  ................................................ $ \bigskip

On peut alors reconnaitre les originaux :\bigskip

$ y(t) =  2 \times ...................... +  .................. -  ........................... $ \bigskip

C'est à dire $ \fbox{ $ y(t) = \Big(  \frac{2}{3}    e^{ - 3   t }  +  \frac{4}{3}   \Big) U(t) $ } $ en regroupant les termes.\bigskip

\end{minipage}}

\exo Utiliser la transformée de Laplace pour résoudre les problèmes différentiels suivants :


\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
	
	\item $y'+3y =4U(t)$ sachant que $y(0)= 2$
	
	\item $y'+2y = tU(t)$ sachant que $y(0) = 0$
	
	\item $y'+2y = e^{3t}U(t)$ sachant que $y(0) = 0$
	
	\item $y''+3y'+2y = U(t)$ sachant que $y(0) = 5$ et $y'(0) = 0$
	
\end{enumerate}
\end{multicols}

\end{document}