\documentclass[a4paper,12pt]{article}

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% ########################### MES PARAMETRES ##############################################################
\def\monnumero{ 3 }
\def\madate{ Octobre 2026}
% ########################### MES PARAMETRES ##############################################################

\setdefaultenum {1.}{a)}{}{}
\hyphenpenalty 10000 % empèche la coupure de mots
\renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}} %centrage vertical des cellules d'un tableau tabularx

\newcommand{\R}{\mathds {R}}
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\newcommand{\e}{\mathrm {e}}
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\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{i},~\vect{j}\right)$}

\DecimalMathComma

\def\ds{\displaystyle }

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée Schuman Perret\\ \madate}}} %gauche
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{SERIE D'EXERCICES n°3\\sur les fonctions dérivées}}}}} %centre
\rhead{\footnotesize{\textsf{T\textsuperscript{erm} maths compl.}}}%droit
%pied de page
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}}
\lfoot{\scriptsize{\textsf{\textsc{Stéphane Le Méteil }}}}

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\newcounter{nexo}           % déclaration du numéro d'exo
\setcounter{nexo}{0}        % initialisation du numero

\newcommand{\exo}{\bigskip
  \stepcounter{nexo}
  \vskip 1cm \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\small{EXERCICE~\arabic{nexo}}}}}}}\quad}

\newcounter{nf}           % déclaration du numéro d'exo
\setcounter{nf}{0}        % initialisation du numero

\def\f#1.{\bigskip
  \stepcounter{nf}
  \bigskip \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\small{$f_{\arabic{nf}}(x) = #1 $}}}}}}\quad}


\def\tvi{\vrule height 15pt depth 10pt width 0pt }
\setlength{\parindent}{0mm}

\begin{document}%\everymath{\displaystyle}

\exo

\bigskip

Une entreprise produit des panneaux solaires. Une étude de marché permet d'estimer que la production pour le mois à venir est comprise entre \np{1500} et \np{3000} panneaux solaires. On s'intéresse au bénéfice de l'entreprise sur la vente des panneaux solaires produits.

On décide de modéliser l'évolution du bénéfice de l'entreprise, exprimé en centaine d'euros, par la fonction $f$ définie ci-dessous :

\[f(x) = - 2x^2 + 90x - 400,\quad  \text{pour }\:x \in [15~;~30].\]

On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle [15~;~30] et on note $f'$ sa fonction dérivée.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Étudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [15~;~30].
\item Calculer son maximum.

Les valeurs de $x$, arrondies au centième, représentent le nombre de centaines de panneaux solaires produits.
\item Pour quelle production le bénéfice est-il maximal ? Quelle est alors sa valeur ?
\end{enumerate}

\vskip 2cm

\exo

\bigskip

Pour la fabrication de machines agricoles, une usine reçoit en grande quantité des plaques métalliques carrées. Elles ne peuvent être utilisées dans le processus de fabrication que si la longueur de leurs côtés et leur épaisseur respectent certains critères.

\medskip

Cette usine peut produire en un mois entre 0 et 50 machines agricoles.

On a modélisé le bénéfice de l'entreprise, exprimé en milliers d'euros, par la fonction $f$ définie pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle [0~;~50] par :

\[f(x)=x^3 - 96x^2+ \np{2484}x- \np{10 000}.\]

On dit que l'entreprise réalise des profits si son bénéfice est strictement positif.

On a tracé la représentation graphique de cette fonction $f$.

\psset{xunit=0.2cm,yunit=0.0006cm,labelFontSize=\scriptstyle}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-2,-11000)(50,10500)
\multido{\n=0+5}{11}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray,linestyle=dashed](\n,-11000)(\n,10000)}
\multido{\n=0+1}{51}{\psline[linewidth=0.3pt](\n,-100)(\n,100)}
\multido{\n=-11000+1000}{22}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray,linestyle=dashed](0,\n)(50,\n) \uput[l](0,\n){\scriptsize \np{\n}}}
\psaxes[linewidth=0.95pt,Dx=5,Dy=12000,]{->}(0,0)(0,-11000)(52,10500)
\psplot[linewidth=1pt,linecolor=blue,plotpoints=5000]{0}{50}{x 96 sub x mul  2484 add x mul 10000 sub}
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{0.5cm}

\begin{enumerate}
\item  Par lecture graphique, donner sous forme d'intervalle, le nombre de machines agricoles que doit produire l'entreprise pour réaliser des profits.
\item On désigne par $f'$ la fonction dérivée de $f$. Calculer $f'(x)$.
\item Résoudre l'équation : $3x^2-192x+\np{2 484}=0$.
\item Recopier et compléter le tableau de variations ci-dessous :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(15,3.15)
\psframe(12,3)
 \psline(0,1)(12,1)\psline(0,2)(12,2)  \psline(3.5,0)(3.5,3)
\uput[u](1.75,2.15){$x$} \uput[u](3.7,2.15){$0$}\uput[u](11.7,2.15){$50$}\uput[u](6.4,2.15){$\dots$}\uput[u](9.1,2.15){$\dots$}
\uput[ur](0.8,1.15){Signe de $f'(x)$}\uput[ur](0.2,0.15){\small Variations de $f$}
\psline[linestyle=dotted,linewidth=0.5pt](6.4,1)(6.4,2)\psline[linestyle=dotted,linewidth=0.5pt](9.1,1)(9.1,2)
\uput[u](6.4,1.15){$0$} \uput[u](9.1,1.15){$0$}
\end{pspicture}
\end{center}
\item À l'aide des questions précédentes, donner le nombre de machines à fabriquer pour que le bénéfice soit maximal, puis calculer ce bénéfice maximal.
\end{enumerate}

\end{document}