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% Classe de document
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\documentclass[a4paper,12pt,x11names]{article}

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% Encodage, langue
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\usepackage[latin1]{inputenc} % (UTF-8 possible si migration)
\usepackage[french]{babel}
\frenchbsetup{StandardLists=true}

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% Mathématiques
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\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{dsfont}

\newcommand{\R}{\mathds{R}}
\newcommand{\N}{\mathds{N}}
\newcommand{\Z}{\mathds{Z}}
\newcommand{\C}{\mathds{C}}

\def\ds{\displaystyle}

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% Mise en page générale
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\usepackage[left=2cm,right=1.5cm,top=2.5cm,bottom=2.5cm]{geometry}

\setlength{\parindent}{0pt}
\hyphenpenalty=10000 % empêche la coupure de mots

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% En-têtes et pieds de page
% =========================================================
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{lastpage}

\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}

\setlength{\headheight}{26pt}
\setlength{\footskip}{18pt}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0pt}

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% Tableaux
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\usepackage{array}
\usepackage{tabularx}
\renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}} % centrage vertical

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% Colonnes, listes, divers
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\usepackage{multicol}
\setlength{\columnseprule}{0.5pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}

\usepackage{enumerate}%\usepackage{enumitem}
\usepackage{setspace}
\usepackage[np]{numprint}
\DecimalMathComma

\usepackage{eurosym}

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% Graphiques (PSTricks)
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\usepackage{pstricks-add}
\usepackage{tikz}\usepackage{tkz-tab} 
% =========================================================
% Macros utilitaires
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\def\tvi{\vrule height 20pt depth 20pt width 0pt}

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% Paramètres document
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\def\monnumero{2}
\def\madate{Octobre 2026}

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% En-tête / pied de page
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\lhead{\footnotesize\textsf{Lycée Schuman Perret\\ \madate}}
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{Série d'exercices No~\monnumero\\Les dérivées}}}}}
\rhead{\footnotesize \textsf{BTS Cira\textsuperscript{1}}}

\lfoot{\scriptsize\textsf{\textsc{Stéphane Le Méteil}}}
\rfoot{\scriptsize\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}

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% Environnements Exercices
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\newcounter{nexo}\setcounter{nexo}{0}
\newcounter{ncor}\setcounter{ncor}{0}

\newcommand{\affichepoints}[1]{\reversemarginpar\if\relax\detokenize{#1}\relax\else\marginpar{\hspace*{0.5cm}\footnotesize#1\ifdim#1pt>1pt  \tiny{pts}\else \tiny{pt}\fi}\fi}

\newcommand{\points}[1]{\hskip -1.5cm {\blue\tiny #1}\hskip 1cm}

\newcommand{\exo}[1][]{\bigskip\stepcounter{nexo}\vskip0.0cm\par\noindent\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{\small 
				EXERCICE~\arabic{nexo}}}}\affichepoints{#1}\quad}

\newcommand{\cor}[1][]{\bigskip\stepcounter{ncor}\vskip0.3cm\par\noindent\textsf{\textbf{\textcolor{red}{\small CORRIGÉ~\arabic{ncor}}}}\affichepoints{#1}\quad}

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% OUTILS
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\usepackage{pgf}
\usepackage{multicol}
\def\e{\text{e}}

\newcounter{nf}\setcounter{nf}{0}
\def\f#1.{\bigskip
	\stepcounter{nf}
	 \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\small{$f_{\arabic{nf}}(x) = #1 $}}}}}}\quad}

\setlength{\parindent}{0mm}

\begin{document}%\everymath{\displaystyle}


\exo Calculer les dérivées des fonctions suivantes.
\begin{multicols}{3}

\f \dfrac{1}{2x+3}.

\f \dfrac{1}{3x+4}.

\f \dfrac{1}{4x+5}.

\f \dfrac{1}{4x-5}.

\f \dfrac{3}{2x+1}.

\f \dfrac{4}{2x+3}.

\f \dfrac{2}{1-5x}.

\f \dfrac{x+1}{x+2}.

\f \dfrac{x+2}{x+3}.

\f \dfrac{2x+1}{x+3}.

\f \dfrac{3x-1}{x+4}.

\f \dfrac{5x+6}{2x-3}.

\f \dfrac{x^2}{x+1}.

\f \dfrac{x^2+1}{x^2+2}.

\f \dfrac{1}{x^2+4x+1}.

\f \dfrac{2}{3x^2-5}.

\f \dfrac{8}{4+7x^2}.

\f \dfrac{(x+1)(x+2)}{(x+3)(x+4)}.

\f \dfrac{x^3}{x+3}.

\f \sqrt{3x+1}.

\f \sqrt{5x-2}.

\f \sqrt{1-7x}.

\f \sqrt{3x^2+9}.

\f \sqrt{x^2+7x-3}.

\f \cos (2x+3).

\f \sin (5x-4).

\f (2x+4)^3.

\f (5x-1)^3.

\f \dfrac{1}{\sqrt{x}}.

\f \sqrt{\dfrac{x+2}{x-2}}.

\end{multicols}


\exo Dans une plaque de 30cm sur 20 cm, on découpe quatre coins carrés de côtés $x$ puis on plie selon les pointillés pour réaliser un réceptacle. Le but est de déterminer la valeur de $x$ pour laquelle le volume sera maximal. Pourra-t-on y verser 1 litre de lait ?

\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\hfil\begin{pspicture*}(-1.1,-0.46)(7.52,3.34)
\pspolygon[linecolor=blue](0.,0.)(6.,0.)(6.,3.)(0.,3.)
\pspolygon[linecolor=blue,fillcolor=blue,fillstyle=solid,opacity=0.1](0.,1.)(1.,1.)(1.,0.)(0.,0.)
\pspolygon[linecolor=blue,fillcolor=blue,fillstyle=solid,opacity=0.1](0.,2.)(1.,2.)(1.,3.)(0.,3.)
\pspolygon[linecolor=blue,fillcolor=blue,fillstyle=solid,opacity=0.1](5.,3.)(5.,2.)(6.,2.)(6.,3.)
\pspolygon[linecolor=blue,fillcolor=blue,fillstyle=solid,opacity=0.1](5.,0.)(5.,1.)(6.,1.)(6.,0.)
\pspolygon[linecolor=blue,fillcolor=blue,linestyle=dotted,opacity=0.1](1.,1.)(5.,1.)(5.,2.)(1.,2.)
\rput[b](3,0.2){$30$}
\rput[b](0.5,0.2){$x$}
\rput{90}(-0.2,1.5){$20$}
\end{pspicture*}

\begin{enumerate}[a)]

\item Quelles sont les valeurs possibles pour la longueur $x$ ?

\item Montrer que le volume $V$ de la boite vérifie $V(x) = 4x^3-100x^2+600x$.

\item Calculer la dérivée $V'(x)$.

\item Déterminer le signe de $V'(x)$ en fonction de $x$.

\item En déduire les variations de $V(x)$ en fonction de $x$.

\item Montrer que $V(x)$ passe par un maximum pour une valeur de $x$ que vous déterminez.

\item Répondre alors à la question du problème.

\end{enumerate}
\end{document}