\documentclass[a4paper,11pt]{article}
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%\usepackage{enumitem} % pour des puces différentes dans des listes
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\frenchbsetup{StandardLists=true} % pour des points au lieu des tirets pour les listes par défaut

\setdefaultenum {1.}{a)}{}{}
\hyphenpenalty 10000 % empèche la coupure de mots
\renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}} %centrage vertical des cellules d'un tableau tabularx

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\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
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{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}

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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{i},~\vect{j}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\def\tvi{\vrule height 15pt depth 10pt width 0pt }

\DecimalMathComma

% ########################### MES PARAMETRES ##############################################################
\def\monnumero{ 5 }
\def\madate{ Octobre 2026}
% ########################### MES PARAMETRES ##############################################################

% en-tete
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée Schuman Perret\\ \madate}}} %gauche
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{série d'exercices No\monnumero}}}}} %centre
\rhead{\footnotesize{\textsf{Cira 2 }}}%droit
%pied de page
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}}
\lfoot{\scriptsize{\textsf{\textsc{Stéphane Le Méteil }}}}

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\newcounter{nexo}\setcounter{nexo}{0}
\newcommand{\exo}{\bigskip  \stepcounter{nexo} \vskip 0.3cm \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\small{EXERCICE~\arabic{nexo}}}}}}}\quad}
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}
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\begin{document}%\everymath{\displaystyle}
\setdefaultleftmargin{0.6cm}{0.5cm}{}{}{}{}
\setlength\parindent{0mm}

\onehalfspacing

\exo {\bf Calculer les transformées.}

\renewcommand{\arraystretch}{2} %espacement entre les lignes des tableaux
\begin{tabular*}{0.95\textwidth}{@{\extracolsep{\fill}}*{3}{l}}

$ f_1(t) = (2t-1)U(t)$ & $ f_2(t) = e^{-5t}U(t)$ & $ f_3(t) = \cos (3t)U(t)$\\

$ f_4(t) = \sin (5t)U(t)$ & $ f_5(t) = e^{2t}U(t)$ & $ f_6(t) = te^{-5t}U(t)$\\

$ f_7(t) = e^{-t}\cos (3t)U(t)$& $ f_8(t) = e^{-t}\sin (5t)U(t)$ &  $ f_9(t) = U(t-1)$\\

$ f_{10}(t) = (t-1)U(t-1)$ & $ f_{11}(t) = \cos (3t-\pi)U(t-\pi)$& $ f_{12}(t) = \sin (t)U(t-{\pi\over3})$\\

\end{tabular*}

\exo {\bf Décomposer en éléments simples.}

\begin{tabular*}{0.95\textwidth}{@{\extracolsep{\fill}}*{4}{l}}

$ A={1\over (p+1)(p-2)}$ & $B={p+2\over (p+1)(p-2)}$ & $ C={p+1\over p(p^2+1)}$ & $ D={1\over (p^2+1)(p-2)}$\\

$ E={1\over (p+1)(p^2-4)}$ & $ F={1\over (p-3)(p^2+4)}$ & $ G={1\over p(p^2+2)}$ & $ H={p^3\over (p+1)(p-2)}$\\

\end{tabular*}


\exo {\bf Retrouver des originaux.}

\begin{tabular*}{0.95\textwidth}{@{\extracolsep{\fill}}*{4}{l}}

$ F_{1}(p) = {2\over p+5}$ & $ F_{2}(p) = {1\over p^2+9}$ & $ F_{3}(p) = {p+1\over p^2+4}$ & $ F_{4}(p) = {1\over p(p+2)}$\\

$ F_{5}(p) = {e^{-p}\over p^2}$ & $ F_{6}(p) = {1\over p^2}(1-p)e^{-2p}$ & $ F_{7}(p) = e^{-p{\pi\over2}}{p\over p^2+4}$ & $ F_{8}(p) = {e^{-3p}\over p(p+1)}$\\

$ F_{9}(p) = {1\over (p+1)^2}$ & $ F_{10}(p) = {1\over (p+2)^2}$ & $ F_{11}(p) = {1\over (p+1)^2+1}$ & $ F_{12}(p) = {e^{-p}\over (p+1)^2+4}$ \\

\end{tabular*}


\exo {\bf Résoudre des équations différentielles d'ordre 1.}

\begin{tabular*}{0.95\textwidth}{@{\extracolsep{\fill}}*{2}{l}}

$(E_1)$ $y'+y=U(t)$ et $y(0) = 1$ & $(E_2)$ $y'+2y=tU(t)$ et $y(0) = 1$  \\

$(E_3)$ $y'+3y=e^{-3t}U(t)$ et $y(0) = 1$& $(E_4)$ $y'+y=\sin (3t) U(t)$ et $y(0) = 1$\\

\end{tabular*}



\exo {\bf Résoudre des équations différentielles d'ordre 2.}

\begin{tabular*}{0.95\textwidth}{@{\extracolsep{\fill}}*{2}{l}}

$(E_1)$ $y''+3y'+2y=U(t)$ et $y(0) = 1$ et $y'(0) = 0$ &  $(E_2)$ $y''+4y=tU(t)$ et $y(0) = 1$ et $y'(0) = 0$ \\

\end{tabular*}




\renewcommand{\arraystretch}{1.2} %espacement entre les lignes des tableaux

\exo {\bf Résoudre un système différentiel.}

Résoudre $\left\{\begin{matrix}x' = 2x+3y& \;& x(0) = 1\cr y' = -3x+2y&&y(0) = 0\end{matrix}\right.$


\eject

\exo {\bf Un problème de BTS.}

Dans ce problème, on s'intéresse à un filtre modélisé mathématiquement par l'équation différentielle suivante~:

$$\begin{matrix} s'(t) + s(t) &=& e(t)\hskip 1cm s(0)=0\end{matrix}$$

La fonction $e$ représente l'entrée aux bornes du filtre et la fonction $s$ la sortie.

On admet que les fonctions $e$ et $s$ admettent des transformées de Laplace respectivement notées $E$ et $S$. La
fonction de transfert $H$ du filtre est définie par :

$$S(p) = H(p) \times E(p)$$

On rappelle que la fonction échelon unité, notée $U$, est définie par :
$$\left\{\begin{matrix}U(t)&=&0&\hbox{ si }&t < 0\cr
U(t)&=&1&\hbox{ si }& t \geq 0\cr\end{matrix}\right.$$

\begin{enumerate}

\item Montrer que : $ H(p) = {1\over p+1}$.

\item  La fonction $e$ est définie par : $e(t) =  tU(t) -  (t - 1)U(t -1)$.

    \begin{enumerate}

    \item Représenter graphiquement la fonction $e$.

    \item Montrer que : $E(p) = {1\over p^2}\left(1 - \hbox{e}^{-p}\right)$.

    \item En déduire $S(p)$.

    \item Déterminer les nombres réels $a,~ b$ et $c$ tels que : $ {1\over p^2(p+1)}=  {a\over p^2} + {b\over p} + {c\over p + 1}$

    \item En déduire l'original $s$ de $S$.

    \item  Vérifier que :

$$\left\{\begin{matrix}s(t)&=&0&      \hbox{si}&t < 0\cr
s(t)&=&t - 1 + \hbox{e}^{-t}&\hbox{si}&0 \leq t < 1\cr
s(t)&=&1+ (1 - \hbox{e})\hbox{e}^{-t}&\hbox{si}&1 \leq t\cr
\end{matrix}\right.$$

    \end{enumerate}

\item

    \begin{enumerate}

    \item Comparer $s\left(1^{-}\right)$ et $s\left(1^{+}\right)$.

    \item Calculer $s^{\prime}(t)$ et étudier son signe sur les intervalles ]0~;~ 1[ et $]1~;~+\infty[$.

    \item En déduire le sens de variation de la fonction $s$ sur l'intervalle $]0~:~+ \infty[$.

    \item Déterminer la limite de la fonction $s$ en $+ \infty$.

    \end{enumerate}

\end{enumerate}

\end{document}