% ========================================================= % Classe de document % ========================================================= \documentclass[a4paper,12pt,x11names]{article} % ========================================================= % Encodage, langue % ========================================================= \usepackage[latin1]{inputenc} % (UTF-8 possible si migration) \usepackage[french]{babel} \frenchbsetup{StandardLists=true} % ========================================================= % Mathématiques % ========================================================= \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{dsfont} \newcommand{\R}{\mathds{R}} \newcommand{\N}{\mathds{N}} \newcommand{\Z}{\mathds{Z}} \newcommand{\C}{\mathds{C}} \def\ds{\displaystyle} % ========================================================= % Mise en page générale % ========================================================= \usepackage[left=2cm,right=1.5cm,top=2.5cm,bottom=2.5cm]{geometry} \setlength{\parindent}{0pt} \hyphenpenalty=10000 % empêche la coupure de mots % ========================================================= % En-têtes et pieds de page % ========================================================= \usepackage{fancyhdr} \usepackage{lastpage} \pagestyle{fancy} \fancyhf{} \setlength{\headheight}{26pt} \setlength{\footskip}{18pt} \renewcommand{\headrulewidth}{0pt} \renewcommand{\footrulewidth}{0pt} % ========================================================= % Tableaux % ========================================================= \usepackage{array} \usepackage{tabularx} \renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}} % centrage vertical % ========================================================= % Colonnes, listes, divers % ========================================================= \usepackage{multicol} \setlength{\columnseprule}{0.5pt} \setlength{\columnsep}{30pt} \usepackage{enumerate}%\usepackage{enumitem} \usepackage{setspace} \usepackage[np]{numprint} \DecimalMathComma \usepackage{eurosym} % ========================================================= % Graphiques (PSTricks) % ========================================================= \usepackage{pstricks-add} \usepackage{tikz}\usepackage{tkz-tab} % ========================================================= % Macros utilitaires % ========================================================= \def\tvi{\vrule height 20pt depth 20pt width 0pt} % ========================================================= % Paramètres document % ========================================================= \def\monnumero{3} \def\madate{Octobre 2026} % ========================================================= % En-tête / pied de page % ========================================================= \lhead{\footnotesize\textsf{Lycée Schuman Perret\\ \madate}} \chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{Correction du contrôle}}}}} \rhead{\footnotesize \textsf{BTS Cira 2\textsuperscript{ème}année.}} \lfoot{\scriptsize\textsf{\textsc{Stéphane Le Méteil}}} \rfoot{\scriptsize\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}} % ========================================================= % Environnements Exercices % ========================================================= \newcounter{nexo}\setcounter{nexo}{0} \newcounter{ncor}\setcounter{ncor}{0} \newcommand{\affichepoints}[1]{\reversemarginpar\if\relax\detokenize{#1}\relax\else\marginpar{\hspace*{0.5cm}\footnotesize#1\ifdim#1pt>1pt \tiny{pts}\else \tiny{pt}\fi}\fi} \newcommand{\points}[1]{\hskip -1.5cm {\blue\tiny #1}\hskip 1cm} \newcommand{\exo}[1][]{\medskip\stepcounter{nexo}\vskip0.0cm\par\noindent\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{\small EXERCICE~\arabic{nexo}}}}\affichepoints{#1}\quad} \newcommand{\cor}[1][]{\bigskip\stepcounter{ncor}\vskip0.3cm\par\noindent\textsf{\textbf{\textcolor{red}{\small CORRIGÉ~\arabic{ncor}}}}\affichepoints{#1}\quad} %======================================== % OUTILS %======================================== \usepackage{pgf} \usepackage{multicol} \def\e{\text{e}} \newcounter{nf}\setcounter{nf}{0} \def\f#1.{\bigskip \stepcounter{nf} \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\small{$f_{\arabic{nf}}(x) = #1 $}}}}}}\quad} \setlength{\parindent}{0mm} \begin{document}%\everymath{\displaystyle} \doublespacing \exo Dessiner la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur $\R$ par :$$f(t) = t\times U(t)-(t-3)\times U(t-3)-(t-4)\times U(t-4)+(t-7)\times U(t-7)$$ \hskip 3cm\begin{pspicture*}(-1.5,-0.9)(10.5,3.5) \psaxes[showorigin=false,labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-1.5,-0.9)(10.5,3.5)[{\scriptsize $t$},-120][{\scriptsize $f(t)$},-150] \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=red](-2.5,0)(0,0)(3,3)(4,3)(7,0)(10,0) \end{pspicture*} \exo Quelle est l'expression de la fonction dont le graphe est le suivant ? \bigskip \hskip 3cm\begin{pspicture*}(-1.5,-1.5)(7.5,1.5) \psaxes[showorigin=false,labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-1.5,-1.5)(7.5,1.5)[{\scriptsize $t$},-120][{\scriptsize $f(t)$},-150] \psline[linewidth=2pt](-2.5,0)(1,0) \psline[linewidth=2pt](1,1)(2,) \psline[linewidth=2pt](2,-1)(3,-1) \psline[linewidth=2pt](3,0)(7.4,0) \psline[linewidth=1pt,linestyle=dashed](1,0)(1,1) \psline[linewidth=1pt,linestyle=dashed](2,1)(2,-1) \psline[linewidth=1pt,linestyle=dashed](3,-1)(3,0) \psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0,0) \psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](1,1) \end{pspicture*} \hskip 3cm{\red $f(t)= U(t-1)-2U(t-2)+U(t-3)$} \exo Calculer les transformées des fonctions suivantes : $f(t) = 2t\times U(t)$ {\red on a donc : $F(p) = \dfrac{2}{p^2}$}\\ $f(t) = 2\times U(t-3)$ {\red on a donc : $F(p) = \dfrac{2}{p}\times e^{-3p}$}\\ $f(t) = 7\sin(2t)\times U(t)$ {\red on a donc : $F(p) = 7\times \dfrac{2}{p^2+2^2} = \dfrac{14}{p^2+4}$}\\ $f(t) = t\times U(t)- (t-2)\times U(t-2)$ {\red on a donc : $F(p) = \dfrac{1}{p^2}-\dfrac{1}{p^2}e^{-2p}$} \exo Retrouver les originaux des fonctions suivantes : $F(p) = \dfrac{5p}{p^2+4}$ {\red $= 5\times \dfrac{p}{p^2+2^2}$ On a donc : $f(t) = 5\cos(2t)\times U(t)$}\\ $F(p) = \left(1-e^{-3p}\right)\times \dfrac1{p^2}$ {\red $=\dfrac{1}{p^2}-\dfrac{1}{p^2}\times e^{-3p}$ On a donc : $f(t) = t\times U(t) - (t-3)\times U(t-3)$} $F(p) = \dfrac{3}{5p^2}+\dfrac{2}{3p+1}$ {\red $=\dfrac35\times\dfrac{1}{p^2}+\dfrac23\times\dfrac{1}{p+\frac13}$ On a donc $f(t) = \frac35\times t\times U(t)+\dfrac23\times e^{-t/3}\times U(t)$} \exo On considère l'équation différentielle $y'+3y = e^{-2t}U(t)$ et $y(0) = 3$ \begin{enumerate} \item \'Ecrire la transformée de l'équation et montrer que $Y(p) = \dfrac{3p+7}{(p+3)(p+2)}$ {\red D'après le cours on a : $pY(p) - 3+3Y(p) = \dfrac{1}{p+2}$ puis $(p+3)Y(p) = 3+\dfrac{1}{p+2}$\hskip 2cm puis $Y(p) = \dfrac{3}{p+3}+\dfrac{1}{(p+2)(p+3)}$ puis $Y(p) = \dfrac{3(p+2)+1}{(p+2)(p+3)}$\hskip 2cm et enfin $Y(p) = \dfrac{3p+7}{(p+3)(p+2)}$ } \item Déterminer les valeurs des constantes réelles $A$ et $B$ pour que $Y(p) = \dfrac{3p+7}{(p+3)(p+2)} = \dfrac{A}{p+2} + \dfrac{B}{p+3}$ {\red Pour trouver A, associé à $(p+3)$ on multiplie $Y(p)$ par $(p+3)$ on simplifie et on fait tendre $p$ vers $-3$ On obtient : ${\red (p+3)} Y(p) = \dfrac{(3p+7){\red (p+3)}} {(p+3)(p+2)} = \dfrac{A{\red (p+3)}}{(p+3)} + \dfrac{B{\red (p+3)}}{p+2}$\bigskip puis $(p+3) Y(p) = \dfrac{3p+7}{p+2} = A + \dfrac{B{\red (p+3)}}{p+2}$\bigskip et enfin $\lim\limits_{p\to-3} (p+3)Y(p) = \dfrac{-2}{-1} = A+0$ donc $\fbox{$A =2$} $\vskip 1cm Pour trouver B, associé à $(p+2)$ on multiplie $Y(p)$ par $(p+2)$ on simplifie et on fait tendre $p$ vers $ -2 $ On obtient : ${\red (p+2)} Y(p) = \dfrac{(3p+7){\red (p+2)}}{(p+3)(p+2)} = \dfrac{A{\red (p+2)}}{(p+3)} + \dfrac{B{\red (p+2)}}{p+2}$\bigskip puis $(p+2) Y(p) = \dfrac{3p+7}{(p+3)} = \dfrac{A(p+2)}{(p+3)}+ B$\bigskip et enfin $\lim\limits_{p\to-2} (p+2)Y(p) = \dfrac{1}{1} = 0+B$ donc $\fbox{$ B =1$} $\vskip 1cm On a établi que : $ Y(p) = \dfrac{3p+7}{(p+3)(p+2)} = \dfrac{2}{p+3}+\dfrac{1}{p+2}$ } \item En déduire la solution de l'équation différentielle. {\red Connaissant la tables des originaux usuels, l'égalité : $ Y(p) = \dfrac{3p+7}{(p+3)(p+2)} = \dfrac{2}{p+3}+\dfrac{1}{p+2}$ donne pour tout réel, $t$, ~$y(t) = 2e^{-3t}U(t) + e^{-2t}U(t)$ } \end{enumerate} \end{document}