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\def\classe{Term Maths Compl.}


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\lhead{\footnotesize\textsf{Lycée Schuman Perret\\ \madate}}
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{\titre}}}}}
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% Environnements Exercices
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				EXERCICE~\arabic{nexo}}}}\affichepoints{#1}\quad}

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% OUTILS
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\def\e{\text{e}}

\begin{document}

\begin{tcolorbox}[title={Objectifs :}]
	\begin{itemize}
		\item Savoir calculer avec des fractions, des puissances et des racines carrées.
		\item Savoir développer, factoriser et résoudre des équations et des inéquations simples.
		\item Savoir lire et utiliser une fonction (image, antécédent, ensemble de définition).
		\item Savoir déterminer l'équation d'une droite et le signe d'une expression.
		\item Savoir dresser un tableau de signes et un tableau de variation.
		\item Savoir dériver des fonctions simples.
	\end{itemize}
\end{tcolorbox}

\medskip
\noindent\textit{Dans les exercices, le nombre d'étoiles indique le niveau : $\star$ très simple, $\star\star$ intermédiaire, $\star\star\star$ niveau attendu pour suivre le chapitre sur la dérivation, la continuité et la convexité.}

%==================================================================
\section{Fractions, puissances et racines carrées}

\subsection{Les fractions}

\begin{tcolorbox}[title={Propriété 1. Calculs avec des fractions}]
	Soient $a$, $b$, $c$, $d$ des nombres réels, avec $b\neq 0$ et $d\neq 0$.
	\begin{itemize}
		\item[-] \textbf{Addition} : on met au même dénominateur : $\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}=\dfrac{ad+bc}{bd}$.
		\item[-] \textbf{Multiplication} : $\dfrac{a}{b}\times\dfrac{c}{d}=\dfrac{ac}{bd}$.
		\item[-] \textbf{Division} : diviser par une fraction, c'est multiplier par son inverse (avec $c\neq 0$) : $\dfrac{a}{b}\div\dfrac{c}{d}=\dfrac{a}{b}\times\dfrac{d}{c}$.
		\item[-] \textbf{Simplification} : $\dfrac{ka}{kb}=\dfrac{a}{b}$ (avec $k\neq 0$).
	\end{itemize}
\end{tcolorbox}

\underline{Exemples} :
\begin{itemize}
	\item $\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{8}{12}+\dfrac{3}{12}=\dfrac{11}{12}$
	\item $\dfrac{2}{3}\times\dfrac{5}{7}=\dfrac{10}{21}$
	\item $\dfrac{3}{4}\div\dfrac{9}{8}=\dfrac{3}{4}\times\dfrac{8}{9}=\dfrac{24}{36}=\dfrac{2}{3}$
\end{itemize}

\paragraph{Exercice 1}
Calculer et donner le résultat sous forme de fraction simplifiée.
\begin{multicols}{2}
	\begin{enumerate}[a)]
		\item $\dfrac{1}{5}+\dfrac{3}{5}$ \hfill $\star$
		\item $\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}$ \hfill $\star$
		\item $\dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{6}$ \hfill $\star\star$
		\item $\dfrac{2}{3}\times\dfrac{9}{4}$ \hfill $\star$
		\item $\dfrac{5}{6}\div\dfrac{10}{3}$ \hfill $\star\star$
		\item $2-\dfrac{3}{5}$ \hfill $\star\star$
		\item $\dfrac{\frac{3}{4}}{\frac{9}{2}}$ \hfill $\star\star\star$
		\item $\dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{4}\times\dfrac{2}{3}$ \hfill $\star\star\star$
	\end{enumerate}
\end{multicols}

\subsection{Les puissances}

\begin{tcolorbox}[title={Propriété 2. Règles de calcul sur les puissances}]
	Soient $a$ un réel non nul, $m$ et $n$ des entiers relatifs.
	\begin{itemize}
		\item[-] $a^m\times a^n=a^{m+n}$
		\item[-] $\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$
		\item[-] $(a^m)^n=a^{mn}$
		\item[-] $a^0=1$ \quad et \quad $a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}$
		\item[-] $(ab)^n=a^nb^n$
	\end{itemize}
\end{tcolorbox}

\underline{Exemples} :
\begin{itemize}
	\item $2^3\times 2^4=2^7=128$
	\item $\dfrac{5^6}{5^4}=5^2=25$
	\item $3^{-2}=\dfrac{1}{3^2}=\dfrac{1}{9}$
	\item $(x^2)^3=x^6$
\end{itemize}

\paragraph{Exercice 2}
Écrire sous la forme $a^n$ ou calculer.
\begin{multicols}{2}
	\begin{enumerate}[a)]
		\item $5^2$ et $2^5$ \hfill $\star$
		\item $(-3)^2$ et $-3^2$ \hfill $\star\star$
		\item $3^2\times 3^5$ \hfill $\star$
		\item $\dfrac{7^5}{7^2}$ \hfill $\star$
		\item $(2^3)^2$ \hfill $\star\star$
		\item $2^{-3}$ \hfill $\star\star$
		\item $x^4\times x^{-6}$ \hfill $\star\star\star$
		\item $\dfrac{(x^3)^2\times x}{x^4}$ \hfill $\star\star\star$
	\end{enumerate}
\end{multicols}

\subsection{Les racines carrées}

\begin{tcolorbox}[title={Propriété 3. Racine carrée}]
	Soit $a$ un réel positif. La racine carrée de $a$, notée $\sqrt{a}$, est le \textbf{nombre positif} dont le carré vaut $a$.
	\begin{itemize}
		\item[-] $\left(\sqrt{a}\right)^2=a$ \quad et \quad $\sqrt{a^2}=a$ si $a\geqslant 0$.
		\item[-] Pour $a\geqslant 0$ et $b\geqslant 0$ : $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\times\sqrt{b}$.
		\item[-] Pour $a\geqslant 0$ et $b>0$ : $\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$.
		\item[-] \textbf{Attention} : en général, $\sqrt{a+b}\neq\sqrt{a}+\sqrt{b}$. Par exemple, $\sqrt{9+16}=5$ mais $\sqrt{9}+\sqrt{16}=7$.
		\item[-] $\sqrt{a}$ n'existe pas si $a<0$.
	\end{itemize}
\end{tcolorbox}

\underline{Exemples} :
\begin{itemize}
	\item $\sqrt{49}=7$ \quad et \quad $\left(\sqrt{5}\right)^2=5$.
	\item $\sqrt{12}=\sqrt{4\times 3}=2\sqrt{3}$.
	\item $\sqrt{2}\times\sqrt{8}=\sqrt{16}=4$.
\end{itemize}

\paragraph{Exercice 3}
\begin{multicols}{2}
	\begin{enumerate}[a)]
		\item Calculer $\sqrt{25}$, $\sqrt{100}$ et $\sqrt{0{,}01}$. \hfill $\star$
		\item Calculer $\left(\sqrt{7}\right)^2$. \hfill $\star$
		\item Écrire $\sqrt{18}$ sous la forme $a\sqrt{2}$. \hfill $\star\star$
		\item Écrire $\sqrt{50}+\sqrt{8}$ sous la forme $a\sqrt{2}$. \hfill $\star\star\star$
		\item $\sqrt{3}\times\sqrt{12}$ \hfill $\star\star$
		\item Pour quelles valeurs de $x$ le nombre $\sqrt{x-3}$ existe-t-il ? \hfill $\star\star\star$
	\end{enumerate}
\end{multicols}

%==================================================================
\section{Calcul littéral}

\subsection{Développer}

\begin{tcolorbox}[title={Propriété 4. Développement et identités remarquables}]
	Soient $a$, $b$, $c$, $d$, $k$ des réels.
	\begin{itemize}
		\item[-] \textbf{Distributivité simple} : $k(a+b)=ka+kb$.
		\item[-] \textbf{Distributivité double} : $(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$.
		\item[-] $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
		\item[-] $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
		\item[-] $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
	\end{itemize}
\end{tcolorbox}

\underline{Exemples} :
\begin{itemize}
	\item $3(2x-5)=6x-15$
	\item $(x+2)(x+5)=x^2+5x+2x+10=x^2+7x+10$
	\item $(2x-3)^2=(2x)^2-2\times 2x\times 3+3^2=4x^2-12x+9$
	\item $(x+4)(x-4)=x^2-16$
\end{itemize}

\textbf{Attention aux signes} : $-(a-b)=-a+b$ et $(-3)^2=9$.

\paragraph{Exercice 4}
Développer et réduire.
\begin{multicols}{2}
	\begin{enumerate}[a)]
		\item $4(x+3)$ \hfill $\star$
		\item $-2(3x-1)$ \hfill $\star$
		\item $x(x+5)$ \hfill $\star$
		\item $(x+1)(x+4)$ \hfill $\star\star$
		\item $(2x-1)(x+3)$ \hfill $\star\star$
		\item $(x+3)^2$ \hfill $\star\star$
		\item $(3x-2)^2$ \hfill $\star\star$
		\item $(x-5)(x+5)$ \hfill $\star\star$
		\item $(x^2+x)(5x-1)$ \hfill $\star\star\star$
		\item $(2x-1)^2-(x+3)(x-3)$ \hfill $\star\star\star$
	\end{enumerate}
\end{multicols}

\subsection{Factoriser}

\begin{tcolorbox}[title={Propriété 5. Factorisation}]
	Factoriser, c'est transformer une \textbf{somme} en un \textbf{produit}.
	\begin{itemize}
		\item[-] \textbf{Facteur commun} : $ka+kb=k(a+b)$.
		\item[-] $a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$
		\item[-] $a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$
		\item[-] $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
	\end{itemize}
\end{tcolorbox}

\underline{Exemples} :
\begin{itemize}
	\item $6x+9=3\times 2x+3\times 3=3(2x+3)$
	\item $x^2-5x=x(x-5)$
	\item $x^2-9=x^2-3^2=(x+3)(x-3)$
	\item $(x-1)(2x+3)-(x-1)(x+5)=(x-1)\bigl[(2x+3)-(x+5)\bigr]=(x-1)(x-2)$
\end{itemize}

\paragraph{Exercice 5}
Factoriser.
\begin{multicols}{2}
	\begin{enumerate}[a)]
		\item $5x+10$ \hfill $\star$
		\item $x^2+3x$ \hfill $\star$
		\item $3x^2-6x$ \hfill $\star\star$
		\item $x^2-16$ \hfill $\star\star$
		\item $x^2+6x+9$ \hfill $\star\star$
		\item $4x^2-1$ \hfill $\star\star$
		\item $(x+2)(3x-1)+(x+2)(x+4)$ \hfill $\star\star\star$
		\item $(2x-1)^2-9$ \hfill $\star\star\star$
	\end{enumerate}
\end{multicols}

%==================================================================
\section{Équations et inéquations}

\subsection{Équations du premier degré et équations produit}

\begin{tcolorbox}[title={Propriété 6. Résolution d'équations}]
	\begin{itemize}
		\item[-] On ne change pas les solutions d'une équation en ajoutant, soustrayant, multipliant ou divisant les deux membres par un même nombre \textbf{non nul}.
		\item[-] \textbf{Équation produit} : un produit de facteurs est nul si, et seulement si, \textbf{l'un au moins} des facteurs est nul : $A\times B=0 \iff A=0$ ou $B=0$.
		\item[-] \textbf{Équation} $x^2=k$ : si $k>0$, deux solutions $\sqrt{k}$ et $-\sqrt{k}$ ; si $k=0$, une solution $0$ ; si $k<0$, aucune solution.
	\end{itemize}
\end{tcolorbox}

\underline{Exemples} :
\begin{itemize}
	\item $3x-7=5 \iff 3x=12 \iff x=4$.
	\item $(x-2)(3x+1)=0 \iff x-2=0$ ou $3x+1=0 \iff x=2$ ou $x=-\dfrac{1}{3}$.
	\item $x^2=25 \iff x=5$ ou $x=-5$.
\end{itemize}

\subsection{Inéquations du premier degré}

\begin{tcolorbox}[title={Propriété 7. Résolution d'inéquations}]
	\begin{itemize}
		\item[-] On peut ajouter ou soustraire un même nombre aux deux membres d'une inéquation.
		\item[-] Si on multiplie (ou divise) les deux membres par un nombre \textbf{positif}, le sens de l'inégalité \textbf{ne change pas}.
		\item[-] Si on multiplie (ou divise) les deux membres par un nombre \textbf{négatif}, le sens de l'inégalité \textbf{change}.
	\end{itemize}
\end{tcolorbox}

\underline{Exemples} :
\begin{itemize}
	\item $2x+1\geqslant 7 \iff 2x\geqslant 6 \iff x\geqslant 3$. L'ensemble des solutions est $[3\,;+\infty[$.
	\item $-3x+5>11 \iff -3x>6 \iff x<-2$ (on divise par $-3$, donc le sens change). L'ensemble des solutions est $]-\infty\,;-2[$.
\end{itemize}

\subsection{Intervalles}

\begin{tcolorbox}[title={Rappel : notation des intervalles}]
	\begin{itemize}
		\item[-] $x\in[2\,;5]$ signifie $2\leqslant x\leqslant 5$ (bornes \textbf{incluses}).
		\item[-] $x\in]2\,;5[$ signifie $2<x<5$ (bornes \textbf{exclues}).
		\item[-] $x\in[3\,;+\infty[$ signifie $x\geqslant 3$ et $x\in]-\infty\,;1[$ signifie $x<1$.
		\item[-] Les crochets sont \textbf{toujours} ouverts en $+\infty$ et en $-\infty$.
		\item[-] $\mathbb{R}^*$ désigne l'ensemble des réels privés de $0$.
	\end{itemize}
\end{tcolorbox}

\paragraph{Exercice 6}
Résoudre dans $\mathbb{R}$.
\begin{multicols}{2}
	\begin{enumerate}[a)]
		\item $x+5=12$ \hfill $\star$
		\item $4x=20$ \hfill $\star$
		\item $3x-1=8$ \hfill $\star$
		\item $5-2x=11$ \hfill $\star\star$
		\item $x^2=49$ \hfill $\star\star$
		\item $(x-3)(x+4)=0$ \hfill $\star\star$
		\item $2x+3\leqslant 9$ \hfill $\star\star$
		\item $-4x+1>9$ \hfill $\star\star$
		\item $x^2-5x=0$ \hfill $\star\star\star$
		\item $3(x-2)>5x+4$ \hfill $\star\star\star$
	\end{enumerate}
\end{multicols}

\paragraph{Exercice 7}
Écrire chaque ensemble sous forme d'intervalle, ou chaque intervalle sous forme d'inégalité.
\begin{multicols}{2}
	\begin{enumerate}[a)]
		\item $x\geqslant 4$ \hfill $\star$
		\item $-1<x\leqslant 3$ \hfill $\star$
		\item $x<0$ \hfill $\star$
		\item $x\in[-2\,;+\infty[$ \hfill $\star$
		\item $x\in]-3\,;1[$ \hfill $\star$
		\item $x\in]-\infty\,;5]$ \hfill $\star$
	\end{enumerate}
\end{multicols}

%==================================================================
\section{Notion de fonction}

\subsection{Vocabulaire}

\begin{tcolorbox}[title={Définition 1. Fonction, image, antécédent}]
	Une \textbf{fonction} $f$ associe à chaque nombre $x$ d'un ensemble $\mathscr{D}_f$ (appelé \textbf{ensemble de définition}) un \textbf{unique} nombre noté $f(x)$.
	\begin{itemize}
		\item[-] $f(x)$ est \textbf{l'image} de $x$ par $f$.
		\item[-] Si $f(a)=b$, alors $a$ est \textbf{un antécédent} de $b$ par $f$.
		\item[-] Pour \textbf{calculer l'image} de $a$, on remplace $x$ par $a$ dans l'expression de $f(x)$.
		\item[-] Pour \textbf{trouver les antécédents} de $b$, on résout l'équation $f(x)=b$.
		\item[-] Sur la courbe représentative $\mathscr{C}_f$, le point $M(a\,;b)$ appartient à $\mathscr{C}_f$ si, et seulement si, $b=f(a)$.
	\end{itemize}
\end{tcolorbox}

\underline{Exemple} : soit $f(x)=2x^2-3$.
\begin{itemize}
	\item L'image de $3$ est $f(3)=2\times 3^2-3=15$.
	\item Les antécédents de $5$ vérifient $2x^2-3=5 \iff x^2=4 \iff x=2$ ou $x=-2$.
\end{itemize}

\subsection{Ensemble de définition}

\begin{tcolorbox}[title={Propriété 8. Valeurs interdites}]
	\begin{itemize}
		\item[-] On \textbf{ne peut pas diviser par $0$} : pour $\dfrac{1}{g(x)}$, on exclut les valeurs de $x$ telles que $g(x)=0$.
		\item[-] On \textbf{ne peut pas prendre la racine carrée d'un nombre négatif} : pour $\sqrt{g(x)}$, il faut $g(x)\geqslant 0$.
	\end{itemize}
\end{tcolorbox}

\underline{Exemples} :
\begin{itemize}
	\item $f(x)=\dfrac{1}{x-3}$ : on doit avoir $x-3\neq 0$, donc $\mathscr{D}_f=\mathbb{R}\setminus\{3\}=]-\infty\,;3[\,\cup\,]3\,;+\infty[$.
	\item $g(x)=\sqrt{2x+4}$ : on doit avoir $2x+4\geqslant 0$, c'est-à-dire $x\geqslant -2$, donc $\mathscr{D}_g=[-2\,;+\infty[$.
\end{itemize}

\paragraph{Exercice 8}
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=3x-2$.
\begin{enumerate}[a)]
	\item Calculer l'image de $0$, de $4$ et de $-1$. \hfill $\star$
	\item Déterminer l'antécédent de $10$. \hfill $\star\star$
	\item Le point $A(2\,;5)$ appartient-il à la courbe de $f$ ? \hfill $\star\star$
\end{enumerate}

\paragraph{Exercice 9}
Soit $g(x)=x^2-4x$ définie sur $\mathbb{R}$.
\begin{enumerate}[a)]
	\item Calculer $g(0)$, $g(1)$ et $g(-2)$. \hfill $\star$
	\item Déterminer les antécédents de $0$ (indication : factoriser $g(x)$). \hfill $\star\star\star$
	\item Déterminer les antécédents de $-3$. \hfill $\star\star\star$
\end{enumerate}

\paragraph{Exercice 10}
Déterminer l'ensemble de définition de chaque fonction.
\begin{multicols}{2}
	\begin{enumerate}[a)]
		\item $f(x)=2x^2-5x+1$ \hfill $\star$
		\item $g(x)=\dfrac{4}{x}$ \hfill $\star$
		\item $h(x)=\dfrac{3}{x+2}$ \hfill $\star\star$
		\item $k(x)=\sqrt{x-1}$ \hfill $\star\star$
		\item $m(x)=\dfrac{1}{2x-6}$ \hfill $\star\star$
		\item $n(x)=\sqrt{3x+6}$ \hfill $\star\star\star$
	\end{enumerate}
\end{multicols}

%==================================================================
\section{Droites et fonctions affines}

\begin{tcolorbox}[title={Propriété 9. Fonction affine et équation d'une droite}]
	\begin{itemize}
		\item[-] Une fonction affine s'écrit $f(x)=mx+p$. Sa courbe est une \textbf{droite}.
		\item[-] $m$ est le \textbf{coefficient directeur} (la \og pente \fg) et $p$ l'\textbf{ordonnée à l'origine}.
		\item[-] Si $m>0$, la fonction est croissante ; si $m<0$, elle est décroissante ; si $m=0$, elle est constante.
		\item[-] Si $A(x_A\,;y_A)$ et $B(x_B\,;y_B)$ sont deux points de la droite avec $x_A\neq x_B$, alors
		\[ m=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}. \]
		\item[-] La droite de coefficient directeur $m$ passant par $A(x_A\,;y_A)$ a pour équation
		\[ y=m(x-x_A)+y_A. \]
	\end{itemize}
\end{tcolorbox}

\underline{Exemple} : déterminer l'équation de la droite $(AB)$ avec $A(1\,;2)$ et $B(3\,;8)$.\\
$m=\dfrac{8-2}{3-1}=\dfrac{6}{2}=3$, puis $y=3(x-1)+2=3x-3+2$, d'où $y=3x-1$.

\paragraph{Exercice 11}
\begin{enumerate}[a)]
	\item Donner le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine de la droite d'équation $y=-2x+5$. \hfill $\star$
	\item Calculer le coefficient directeur de la droite passant par $A(0\,;1)$ et $B(2\,;7)$. \hfill $\star\star$
	\item Déterminer l'équation de la droite de coefficient directeur $4$ passant par $A(1\,;3)$. \hfill $\star\star$
	\item Déterminer l'équation de la droite passant par $A(-1\,;2)$ et $B(2\,;-4)$. \hfill $\star\star\star$
	\item Déterminer l'équation de la droite de coefficient directeur $-2$ passant par $A(-1\,;1)$. \hfill $\star\star\star$
\end{enumerate}

%==================================================================
\section{Signe d'une expression et tableau de signes}

\subsection{Signe de $ax+b$}

\begin{tcolorbox}[title={Propriété 10. Signe d'une expression affine}]
	Soit $a\neq 0$. L'expression $ax+b$ s'annule pour $x=-\dfrac{b}{a}$.
	\begin{itemize}
		\item[-] Si $a>0$ : $ax+b$ est négative avant $-\dfrac{b}{a}$, puis positive après.
		\item[-] Si $a<0$ : $ax+b$ est positive avant $-\dfrac{b}{a}$, puis négative après.
	\end{itemize}
	\textbf{Règle :} le signe de $ax+b$ est celui de $a$ \og à droite \fg{} de la racine.
\end{tcolorbox}

\underline{Exemples} :
\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=2.5,espcl=2.5]{$x$/1,$2x-6$/1}{$-\infty$,$3$,$+\infty$}
		\tkzTabLine{,-,z,+,}
	\end{tikzpicture}
	\hspace{1cm}
	\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=2.5,espcl=2.5]{$x$/1,$-3x+6$/1}{$-\infty$,$2$,$+\infty$}
		\tkzTabLine{,+,z,-,}
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Signe d'un produit et d'un quotient}

\begin{tcolorbox}[title={Propriété 11. Règle des signes}]
	\begin{itemize}
		\item[-] Un produit (ou un quotient) de deux nombres de \textbf{même signe} est \textbf{positif} ; de \textbf{signes contraires}, il est \textbf{négatif}.
		\item[-] Pour étudier le signe d'un produit ou d'un quotient, on dresse un \textbf{tableau de signes} : une ligne par facteur, une ligne pour le résultat.
		\item[-] Dans un quotient, la valeur qui annule le dénominateur est interdite : on la marque par une \textbf{double barre}.
	\end{itemize}
\end{tcolorbox}

\underline{Exemple} : signe de $(x-2)(3x+1)$. Les facteurs s'annulent en $2$ et en $-\dfrac{1}{3}$.
\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=3,espcl=2.5]{$x$/1,$x-2$/1,$3x+1$/1,$(x-2)(3x+1)$/1}{$-\infty$,$-\frac{1}{3}$,$2$,$+\infty$}
		\tkzTabLine{,-,t,-,z,+,}
		\tkzTabLine{,-,z,+,t,+,}
		\tkzTabLine{,+,z,-,z,+,}
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Signe d'un trinôme du second degré}

\begin{tcolorbox}[title={Propriété 12. Signe de $ax^2+bx+c$ ($a\neq 0$)}]
	On calcule le discriminant $\Delta=b^2-4ac$.
	\begin{itemize}
		\item[-] Si $\Delta<0$ : pas de racine ; le trinôme a le signe de $a$ pour tout $x$.
		\item[-] Si $\Delta=0$ : une racine double $x_0=-\dfrac{b}{2a}$ ; le trinôme a le signe de $a$ (et s'annule en $x_0$).
		\item[-] Si $\Delta>0$ : deux racines $x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ ; le trinôme a le signe de $a$ \textbf{à l'extérieur} des racines, et le signe contraire de $a$ \textbf{entre} les racines.
	\end{itemize}
\end{tcolorbox}

\underline{Exemple} : signe de $x^2-3x+2$. On a $\Delta=9-8=1$, donc $x_1=\dfrac{3-1}{2}=1$ et $x_2=\dfrac{3+1}{2}=2$. Comme $a=1>0$ :
\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=3,espcl=2.5]{$x$/1,$x^2-3x+2$/1}{$-\infty$,$1$,$2$,$+\infty$}
		\tkzTabLine{,+,z,-,z,+,}
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\paragraph{Exercice 12}
Dresser le tableau de signes de chaque expression.
\begin{multicols}{2}
	\begin{enumerate}[a)]
		\item $2x-4$ \hfill $\star$
		\item $-x+5$ \hfill $\star$
		\item $(x-1)(x+3)$ \hfill $\star\star$
		\item $x(2x-6)$ \hfill $\star\star$
		\item $\dfrac{x+2}{x-4}$ \hfill $\star\star\star$
		\item $x^2-4$ \hfill $\star\star\star$
		\item $x^2-5x+6$ \hfill $\star\star\star$
		\item $3x(x-2)$ \hfill $\star\star\star$
	\end{enumerate}
\end{multicols}

%==================================================================
\section{La fonction exponentielle}

\begin{tcolorbox}[title={Propriété 13. Propriétés de la fonction exponentielle}]
	\begin{itemize}
		\item[-] $e^0=1$ \quad et \quad $e^1=e\approx 2{,}718$.
		\item[-] Pour tout réel $x$, $e^x>0$ : l'exponentielle est \textbf{toujours strictement positive}.
		\item[-] $e^{a+b}=e^a\times e^b$ \qquad $e^{a-b}=\dfrac{e^a}{e^b}$ \qquad $e^{-a}=\dfrac{1}{e^a}$ \qquad $\left(e^a\right)^n=e^{na}$
		\item[-] La fonction exponentielle est \textbf{croissante} sur $\mathbb{R}$.
		\item[-] \textbf{Conséquence importante} : le signe de $A(x)\times e^{x}$ est celui de $A(x)$, car $e^x>0$.
	\end{itemize}
\end{tcolorbox}

\underline{Exemples} :
\begin{itemize}
	\item $e^{3}\times e^{2}=e^{5}$ \quad et \quad $\dfrac{e^5}{e^2}=e^3$.
	\item $e^{2x+1}=e^{2x}\times e^{1}$.
	\item Le signe de $(2x-1)e^x$ est celui de $2x-1$ : il est négatif pour $x<\dfrac{1}{2}$ et positif pour $x>\dfrac{1}{2}$.
\end{itemize}

\paragraph{Exercice 13}
\begin{multicols}{2}
	\begin{enumerate}[a)]
		\item Calculer $e^0$. \hfill $\star$
		\item Simplifier $e^4\times e^3$. \hfill $\star$
		\item Simplifier $\dfrac{e^6}{e^2}$. \hfill $\star$
		\item Simplifier $e^{-2}\times e^{5}$. \hfill $\star\star$
		\item Écrire $e^{x+2}$ sous la forme $k\,e^x$. \hfill $\star\star$
		\item Simplifier $\left(e^{x}\right)^2$. \hfill $\star\star$
		\item Donner le signe de $(x-3)e^x$. \hfill $\star\star\star$
		\item Donner le signe de $(x^2-1)e^{x}$. \hfill $\star\star\star$
	\end{enumerate}
\end{multicols}

%==================================================================
\section{Variations, nombre dérivé et dérivation}

\subsection{Lire un tableau de variation}

\begin{tcolorbox}[title={Propriété 14. Tableau de variation}]
	\begin{itemize}
		\item[-] Une flèche qui \textbf{monte} signifie que la fonction est \textbf{croissante} ; une flèche qui \textbf{descend} signifie qu'elle est \textbf{décroissante}.
		\item[-] Un \textbf{maximum} (ou un \textbf{minimum}) se lit à l'endroit où les flèches changent de sens.
		\item[-] Pour comparer deux images, on regarde si la fonction est croissante ou décroissante sur l'intervalle concerné.
	\end{itemize}
\end{tcolorbox}

\underline{Exemple} : voici le tableau de variation d'une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$.
\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=2,espcl=2.5]{$x$/1,$f$/2}{$-\infty$,$-1$,$3$,$+\infty$}
		\tkzTabVar{-/ $-\infty$, +/ $4$, -/ $-2$, +/ $+\infty$}
	\end{tikzpicture}
\end{center}
\begin{itemize}
	\item $f$ est croissante sur $]-\infty\,;-1]$ et sur $[3\,;+\infty[$, décroissante sur $[-1\,;3]$.
	\item $f$ admet un maximum local égal à $4$ en $x=-1$ et un minimum local égal à $-2$ en $x=3$.
\end{itemize}

\paragraph{Exercice 14}
D'après le tableau de variation de l'exemple ci-dessus :
\begin{enumerate}[a)]
	\item Quelle est l'image de $3$ ? \hfill $\star$
	\item Sur quel intervalle $f$ est-elle décroissante ? \hfill $\star$
	\item Comparer $f(0)$ et $f(2)$. Justifier. \hfill $\star\star$
	\item Comparer $f(4)$ et $f(5)$. Justifier. \hfill $\star\star$
	\item Combien de solutions l'équation $f(x)=0$ semble-t-elle avoir ? Justifier. \hfill $\star\star\star$
\end{enumerate}

\subsection{Nombre dérivé et tangente}

\begin{tcolorbox}[title={Propriété 15. Rappel sur le nombre dérivé}]
	\begin{itemize}
		\item[-] Le \textbf{nombre dérivé} $f'(a)$ est le \textbf{coefficient directeur de la tangente} à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$.
		\item[-] La tangente en $A(a\,;f(a))$ a pour équation $y=f'(a)(x-a)+f(a)$.
		\item[-] Si $f'(a)>0$, la courbe \og monte \fg{} au point d'abscisse $a$ ; si $f'(a)<0$, elle \og descend \fg ; si $f'(a)=0$, la tangente est horizontale.
	\end{itemize}
\end{tcolorbox}

\subsection{Dérivées usuelles}

\begin{tcolorbox}[title={Rappel : dérivées à connaître}]
	\begin{center}
		\renewcommand{\arraystretch}{1.6}
		\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
			\hline
			$f(x)$ & $k$ & $mx+p$ & $x^2$ & $x^n$ & $\dfrac{1}{x}$ & $\sqrt{x}$ & $e^x$ \\
			\hline
			$f'(x)$ & $0$ & $m$ & $2x$ & $nx^{n-1}$ & $-\dfrac{1}{x^2}$ & $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ & $e^x$ \\
			\hline
		\end{tabular}
	\end{center}
	\begin{itemize}
		\item[-] $(ku)'=ku'$ \quad et \quad $(u+v)'=u'+v'$.
		\item[-] $(uv)'=u'v+uv'$.
	\end{itemize}
\end{tcolorbox}

\underline{Exemples} :
\begin{itemize}
	\item $f(x)=3x^2-5x+1$ : $f'(x)=3\times 2x-5=6x-5$.
	\item $g(x)=x^3+4x$ : $g'(x)=3x^2+4$.
	\item $h(x)=2x\,e^x$ : on pose $u=2x$ et $v=e^x$, donc $u'=2$ et $v'=e^x$, d'où $h'(x)=2e^x+2xe^x=2(1+x)e^x$.
\end{itemize}

\paragraph{Exercice 15}
Dériver les fonctions suivantes définies sur $\mathbb{R}$.
\begin{multicols}{2}
	\begin{enumerate}[a)]
		\item $f(x)=4x+7$ \hfill $\star$
		\item $f(x)=x^2+3x$ \hfill $\star$
		\item $f(x)=5x^3$ \hfill $\star$
		\item $f(x)=x^3-2x^2+x-5$ \hfill $\star\star$
		\item $f(x)=3x^2-6x+2$ \hfill $\star\star$
		\item $f(x)=x^4-x^2$ \hfill $\star\star$
		\item $f(x)=3x+2e^x$ \hfill $\star\star$
		\item $f(x)=xe^x$ \hfill $\star\star\star$
		\item $f(x)=(x+1)(x-3)$ \hfill $\star\star\star$
		\item $f(x)=(2x-1)e^x$ \hfill $\star\star\star$
	\end{enumerate}
\end{multicols}

\subsection{Dérivée, signe et variations}

\begin{tcolorbox}[title={Méthode : étudier les variations d'une fonction}]
	\begin{enumerate}
		\item On \textbf{calcule} $f'(x)$.
		\item On \textbf{factorise} $f'(x)$ si c'est possible (pour pouvoir étudier son signe).
		\item On \textbf{étudie le signe} de $f'(x)$ avec un tableau de signes.
		\item On en \textbf{déduit les variations} de $f$ : $f'(x)\geqslant 0$ donc $f$ croissante ; $f'(x)\leqslant 0$ donc $f$ décroissante.
		\item On \textbf{dresse le tableau de variation} en calculant les images utiles.
	\end{enumerate}
\end{tcolorbox}

\underline{Exemple} : étudier les variations de $f(x)=x^3-3x^2+2$ sur $\mathbb{R}$.
\begin{enumerate}
	\item $f'(x)=3x^2-6x$.
	\item $f'(x)=3x(x-2)$.
	\item Le signe de $f'(x)$ est donné par le tableau de signes ci-dessous.
	\item $f$ est croissante sur $]-\infty\,;0]$, décroissante sur $[0\,;2]$ et croissante sur $[2\,;+\infty[$.
	\item $f(0)=2$ et $f(2)=8-12+2=-2$.
\end{enumerate}
\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=2.5,espcl=2.5]{$x$/1,$3x$/1,$x-2$/1,$f'(x)$/1,$f$/2}{$-\infty$,$0$,$2$,$+\infty$}
		\tkzTabLine{,-,z,+,t,+,}
		\tkzTabLine{,-,t,-,z,+,}
		\tkzTabLine{,+,z,-,z,+,}
		\tkzTabVar{-/ $-\infty$, +/ $2$, -/ $-2$, +/ $+\infty$}
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\paragraph{Exercice 16}
Étudier les variations de chaque fonction définie sur $\mathbb{R}$ et dresser son tableau de variation.
\begin{enumerate}[a)]
	\item $f(x)=2x-6$ \hfill $\star$
	\item $f(x)=x^2-4x+1$ \hfill $\star\star$
	\item $f(x)=x^3-12x$ \hfill $\star\star\star$
	\item $f(x)=(x-1)e^x$ \hfill $\star\star\star$
\end{enumerate}

%==================================================================
\section{Exercices de synthèse}

\paragraph{Exercice 17 \hfill $\star\star\star$}
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^3-3x+1$.
\begin{enumerate}
	\item Calculer $f'(x)$ et vérifier que $f'(x)=3(x-1)(x+1)$.
	\item Dresser le tableau de signes de $f'(x)$.
	\item En déduire les variations de $f$ et dresser son tableau de variation.
	\item Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $2$.
\end{enumerate}

\paragraph{Exercice 18 \hfill $\star\star\star$}
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(x+2)e^x$.
\begin{enumerate}
	\item Justifier que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et montrer que $f'(x)=(x+3)e^x$.
	\item Étudier le signe de $f'(x)$ (on rappelle que $e^x>0$ pour tout réel $x$).
	\item Dresser le tableau de variation de $f$.
	\item Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $0$.
\end{enumerate}

\paragraph{Exercice 19 \hfill $\star\star\star$}
Soit $f$ la fonction définie sur $]0\,;+\infty[$ par $f(x)=x+\dfrac{1}{x}$.
\begin{enumerate}
	\item Calculer $f'(x)$ et montrer que $f'(x)=\dfrac{(x-1)(x+1)}{x^2}$.
	\item Étudier le signe de $f'(x)$ sur $]0\,;+\infty[$.
	\item Dresser le tableau de variation de $f$.
	\item En déduire que, pour tout $x>0$, $x+\dfrac{1}{x}\geqslant 2$.
\end{enumerate}

\end{document}