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\def\boxit#1#2{\leavevmode\setbox1=\hbox{\kern#1{#2}\kern#1}%
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\begin{document}
	\thispagestyle{empty}	
	\begin{center}SANS CALCULATRICE\end{center}\vskip -0.5cm
	
	
	\boxit{4pt}{Minitest N°9 }\rightarrowfill\quad\boxit{3pt}{Corrigé}\medskip
	

Le plan est muni d'un repère orthonormé $(O;\vect{i},\vect{j},\vect{k})$.

On considère les points $A(5;-2;1)$, $B(1;2;3)$,  $C(1;0;1)$ et $D(6;2;5)$.\\

$1\bullet$ Calculer les composantes du vecteur $\vect{AB}$ et du vecteur $\vect{CD}$.\\

{\red $\vect{AB}\begin{pmatrix}-4\cr4\cr2 \end{pmatrix}$ et $\vect{CD}\begin{pmatrix}5\cr2\cr4 \end{pmatrix}$ }

$2\bullet$ Les deux vecteurs sont-ils colinéaires ? Pourquoi ?\\

{\red S'il existait $k\in\R$, tel que $\vect{CD} = k\vect{AB}$ alors on aurait : 
	
	$-4k=5$ et $4k=2$ et $2k=4$\qquad donc $k=\frac{-5}{4}$ et $k=2$ et $k=\frac12$ ce qui est incompatible

donc il n'existe pas de réel $k$ tel que $\vect{CD} = k\vect{AB}$ donc les deux vecteurs ne sont pas colinéaire.}\\

$3\bullet$ \'Etablir un système d'équations paramétriques de la droite $(AB)$.\\

{\red $M(x;y;z)\in(AB)$ ssi $\vect{AM}$ et $\vect{AB}$ sont colinéaires
	
\hskip 3.5cm ssi $\exists k\in\R, ~\vect{AM} = k\vect{AB}$

\hskip 3.5cm ssi $\exists k\in\R, \begin{cases}x=5-4k\\y= -2+4k\\z=1+2k\end{cases}$}\\

$4\bullet$ Le point $E(-35;38;21)$ appartient-il à $(AB)$ ?\\

{\red Il existe-il un réel $k$ tel que $\begin{cases}-35=5-4k\\38= -2+4k\\21=1+2k\end{cases}$
 cela donne : $\begin{cases}-40=-4k\\40= 4k\\20=2k\end{cases}$ donc $k-10$

Puisqu'il existe un paramètre $k$ pour que $x$, $y$ et $z$ soient ceux de $E$, on a $E\in(AB)$}\\


$5\bullet$ Calculer les coordonnées du point $F$ de $(AB)$ dont l'abscisse est 15.\\

{\red Puisque $F\in(AB)$, on a $15 = 5-4k$ donc $10=-4$ donc $k=-2,5$ 
	
	ce qui permet alors de calculer $y=-2+4k =-12$ et  $z=1+2k = -4$ donc $F(15;-12;-4)$}\\


Si on considère la droite $(d)$ dont un système d'équations paramétriques est :$\begin{cases}x=1+t\cr y=-3+2t\cr z=5+7t\end{cases}$.

$6\bullet$ Citer un point de $(d)$.\\

{\red Avec $t=0$, on obtient les coordonnées $(1;-3;-5)$ qui est un point de $(d)$}\\

$7\bullet$ Citer un vecteur directeur de $(d)$ ?\\

{\red En le système on lit les composantes d'un vecteur directeur de $(d)\quad \vect{w}\begin{pmatrix}1\cr2\cr7\end{pmatrix}$}

$8\bullet$ Pourquoi $\vect{u}\begin{pmatrix}2\cr4\cr13\end{pmatrix}$ n'est pas un vecteur directeur de $(d)$ ?\\

{\red Parce que $\vect{w}$ et $\vect{u}$ ne sont clairement pas colinéaires.}\\

$9\bullet$ Le point $G(9;13;61)$ est-il situé sur $(d)$?\\

{\red oui il suffit de choisir $k=8$ (voir méthode $4$)}\\

$10\bullet$ les droites $(AB)$ et $(d)$ sont-elles parallèles ?

{\red non car $\vect{AB}$ et $\vect{w}$ ne sont clairement pas colinéaires (voir méthode $2$)}
\end{document} 