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\begin{document}
	\thispagestyle{empty}	
	\begin{center}SANS CALCULATRICE\end{center}\vskip -1.5cm
	
	
	\boxit{4pt}{Minitest N°8 }\rightarrowfill\quad\boxit{3pt}{$\begin{matrix}\cr\hbox{Nom :}\hskip 5cm~\hfill\cr\cr \hbox{Prénom :
			}\hfill~\cr\;\end{matrix}$}\medskip
	
\vskip 0.5cm\doublespacing

On considère l'équation différentielle $y'+5y = 12$ et la condition initiale $y(0) = 8$

{\bf \'Etape 1} Résolution de l'équation homogène associée $y'+5y=0$, notée $(H)$

$y'+5y=0$ équivaut à, pour tout $x\in\R$, on a : \hskip 5cm $\times$ tout par : ...............

\hskip 2cm équivaut à, pour tout $x\in\R$, on a :  ...................

\hskip 2cm équivaut à, pour tout $x\in\R$, on a : $(y(x)\times e^{5x})' = .........$

\hskip 2cm équivaut à, il existe un réel $C\in\R$ tel que pour tout $x\in\R$, on a : .................

\hskip 2cm équivaut à, il existe un réel $C\in\R$ tel que pour tout $x\in\R$, on a : $y(x) = .....................$

\bigskip

{\bf \'Etape 2} Recherche d'une solution particulière de l'équation complète : $y'+5y = 12$

S'il existe une solution particulière, notée, $y_p$, constante sur $\R$ alors 

il existe un réel $K$ tel que pour tout $x\in\R$, on a : $y_p(x) = ..............$

dans ce cas pour tout $x\in\R$, on a : $y_p'(x) =.......... $

l'équation $y'+5y = 12$ devient alors : pour tout $x\in \R$, ............

finalement on obtient $K =..............$

Une solution particulière de l'équation complète est alors $y_p(x) = ......................$

\bigskip

{\bf \'Etape 3} Obtention de toutes les solutions de l'équation complète $(E)$ : $y'+5y = 12$

On sait déjà que $y_p'+5y_p = 12$ 

$y$ est une solution de $(E)$ équivaut à $y'+5y = 12$ 

\hskip 5cm équivaut à ..............................

\hskip 5cm équivaut à $(y-y_p)$ est une solution de ...................

\hskip 5cm équivaut à il existe $C\in\R$, tel que pour tout $x\in\R$, on a : 

Finalement toutes les solutions des $(E)$ sont les fonctions $y$ vérifiant : 

\hfil pour tout $x\in\R$, $y(x) =.................$

où $C$ est une constante réelle quelconque.

\bigskip

{\bf \'Etape 4} Avec la conditions initiale.

Sachant que $y(0) = 8$ cela donne : .......................

donc $C =..................... $

L'unique solution du problème est alors la fonction $y$ vérifiant : 

\hfil pour tout $x\in\R$, $y(x)  =...................$




\end{document} 