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\begin{document}
\boxit{4pt}{Minitest 06}\rightarrowfill\quad\boxit{3pt}{Corrigé}\bigskip

Montrer que la courbe représentative de la fonction définie sur $[1;+\infty[$ par $f(x) = \dfrac{3x+4}{1-2x}$ admet une asymptote horizontale au voisinage de $+\infty$ et donner son équation.

\vskip 0.5cm

{\red $f(x) = \dfrac{3x+4}{1-2x}$ la limite en $+\infty$ donne la forme indéterminée $\dfrac{\infty}{\infty}$ donc on transforme l'expression.\bigskip
	
	$f(x) = \dfrac{x\times \Big(3+\frac4x\Big)}{x\times\Big(\frac1x-2\Big)} = \dfrac{3+\frac4x}{\frac1x-2}$
	
	Puis $\lim\limits_{x\to+\infty}3+\frac4x = 3+0 = 3$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}\frac1x-2 = 0-2 = -2$ donc par quotient  : $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x) = -\dfrac32$
	
	
Puisque $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x) = -\dfrac32$ est un réel, la droite d'équation $y= -\dfrac32$ est asymptote à la courbe représentant $f$ au voisinage de $+\infty$
	
}
	

\vskip 1.5cm

On considère la suite définie sur $\N$ par $U_0 = 8$ et $U_{n+1} = \sqrt{5U_n-4}$ \bigskip

Démontrer par récurrence que pour tout $n\in\N$, on a : $2<U_{n+1}<U_n<8$ \bigskip

Expliquer alors pourquoi la suite $(U_n)$ converge et calculer sa limite.

\vskip 0.5cm

{\red 

\underline{Définition}~Soit ${\mathscr{P}}$ la proposition définie sur $\N$ par : \og  $2<U_{n+1}<U_n<8$\fg\bigskip

\underline{Initialisation}~On a d'une part $U_0 = 8$ et d'autre part $U_1 = \sqrt{5U_0-4} = 6$\bigskip

\hskip 3.5cm donc on a bien $2<U_{0+1}<U_0<8$,  la proposition ${\mathscr{P}}$ est vraie au rang 0\bigskip

\underline{Hérédité}~Soit $n$ un entier $\geqslant 0$, supposons que la propriété ${\mathscr{P}}$ est vraie pour ce rang n, \bigskip

alors pour cet entier  on a : $2<U_{n+1}<U_n<8$ \bigskip

\hskip 2cm donc  $10 < 5U_{n+1} < 5U_n < 40$ \bigskip

\hskip 2cm donc  $6 < 5U_{n+1}-4 < 5U_n -4< 36$ \bigskip

\hskip 2cm donc  $\sqrt{6} < \sqrt{5U_{n+1}-4} < \sqrt{5U_n -4}< \sqrt{36}$ \bigskip

\hskip 2cm donc  $2<\sqrt{6} < U_{n+2} < U_{n+1} < 6 < 8$ \bigskip

\hskip 2cm donc la proposition ${\mathscr{P}}$ est vraie au rang $n+1$\bigskip

\underline{Conclusion}~

La proposition est vraie pour l'entier initial 0

et, pour tout $n\in\N$, 

\qquad si la proposition ${\mathscr{P}}$ est vraie pour l'entier $n$ alors on a démontré qu'elle était vraie pour l'entier $n+1$

donc pour tout $n\in\N$, la proposition ${\mathscr{P}}$ est vraie.\medskip

C'est à dire pour tout $n\in\N$, on a : $2<U_{n+1}<U_n<8$.

\bigskip

La suite $(U_n)$ est donc décroissante et minorée par $2$, elle converge donc vers un réel $\ell\geqslant 2$\medskip

Puis  $\ell$ est une solution de $x= \sqrt{5x-4}$ donc $x^2 = 5x-4$ donc $x^2-5x+4 = 0$

$\Delta = (-5)^2-4\times 1\times 4 = 25- 16 = 9$ il y a deux solutions $x=1$ et $x=4$\medskip

La seule valeur $\geqslant2$ est 4 donc $(U_n)$ converge vers $\ell=4$.

}

\end{document} 