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\begin{document}
	
\begin{center}SANS CALCULATRICE\end{center}\vskip -0.5cm
	
\doublespacing

\boxit{4pt}{Minitest}\rightarrowfill\quad\boxit{3pt}{Corrigé}\bigskip


On considère la suite définie sur $\N$ par $u_0 = 20$ et $u_{n+1} = \sqrt{3u_n+4}$

Démontrer par récurrence que la suite est décroissante et minorée\vskip 0.5cm 
	
	{\red $\square$ ~Soit $H_n$ la proposition "$0\leqslant u_{n+1}<u_n$"
	
	$\square$ ~Pour $n=0$, on a : $u_0=20$ et $u_1=8$ donc $0\leqslant u_1<u_0$ donc $H_0$ est vraie.
	
	$\square$ ~Soit $n$ un entier naturel pour lequel $H_n$ est vraie
	
	\hskip 1cm pour cet entier $n$, on a : $0\leqslant u_{n+1}<u_{n}$
	
	\hskip 1cm donc $0\leqslant 3\times u_{n+1}<3\times u_{n}$ en multipliant chaque terme par 3
	
	\hskip 1cm donc $0\leqslant 3\times u_{n+1}+4<3\times u_{n}+4$ en ajoutant 4 à chaque terme
	
	\hskip 1cm donc $0\leqslant \sqrt{3\times u_{n+1}+4}<\sqrt{3\times u_{n}+4}$ 
		car $\sqrt{~}$ est une fonction croissante sur $\R^+$
	
	\hskip 1cm donc $0\leqslant u_{n+2}<u_{n+1}$
	
	\hskip 1cm donc $H_{n+1}$ est vraie.
	
	$\square$ ~$H_0$ est vraie et, pour tout $n\in\N$, si $H_n$ est vraie alors $H_{n+1}$ aussi 
	
	donc pour tout $n\in\N$, $H_n$ est vraie
	
	C'est à dire pour tout $n\in\N$, on a : $0\leqslant u_{n+1}<u_{n}$
	
	donc $(u_n)$ est décroissante et minorée par 0}
	
	
\vskip 1cm

$\bullet$\qquad Citer les quatre formes indéterminées sur les limites\vskip 0.5cm

{\red $\infty-\infty$\qquad $0\times \infty$\qquad $\dfrac00$\qquad $\dfrac{\infty}{\infty}$}

\vskip 1cm

$\bullet$\qquad Calculer $\lim\limits_{n\to+\infty} 3n^2-100n+1$ en justifiant.\vskip 0.5cm

{\red $3n^2-100n+1 = n^2\times\left(3-\dfrac{100}{n}+\dfrac{1}{n^2}\right)$

or $\lim\limits_{n\to+\infty}n^2 = +\infty$ 

et $\lim\limits_{n\to+\infty} = \dfrac{100}{n}$ et $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1}{n^2}=0$ 
donc par combinaison linéaire $\lim\limits_{n\to+\infty}\left(3-\dfrac{100}{n}+\dfrac{1}{n^2}\right) = 3-0+0 = 3$

puis par produit $\lim\limits_{n\to+\infty}n^2\times\left(3-\dfrac{100}{n}+\dfrac{1}{n^2}\right) = +\infty$

C'est à dire $\lim\limits_{n\to+\infty}3n^2-100n+1 = +\infty$

}

\end{document} 