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\newcommand{\N}{\mathds {N}}
\setlength\parindent{0pt}
\begin{document}
	
\begin{center}SANS CALCULATRICE\end{center}\vskip -0.5cm
	

\boxit{4pt}{Minitest}\rightarrowfill\quad\boxit{3pt}{Corrigé}\bigskip


On considère la suite définie sur $\N$ par $u_0 = 20$ et $u_{n+1} = \frac23u_n+3$

\begin{enumerate}
	\item Calculer $u_1$, $u_2$, $u_3$, $u_4$. \vskip 0.5cm
	
	
	{\red $u_1 = \frac{49}{3}\approx16,3$,\quad $u_2 = \frac{125}{9}\approx 13,9$,\quad  $u_3 = \frac{331}{27}\approx12,3$,\quad  $u_4 = \frac{905}{81}\approx11,2$} \vskip 0.5cm
	
	\item Quelles conjectures peut-on observer à propos du sens de variation de $u$ ainsi que d'un éventuel minorant?\vskip 0.5cm
	
	{\red La suite semble décroissante et minorée par 0 }
	
	 \vskip 0.5cm
	
	\item On souhaite démontrer celles-ci par récurrence. Compléter les cases laissées éventuellement vides : 
	
	{\bf Définition} : pour tout $n\in\N$, soit $H_n$  la proposition : '' \fbox{\tvi~\red $0~\leqslant u_{n+1} < u_n$} "\bigskip
	
	{\bf Initialisation} : pour l'entier $n=0$, on a : \fbox{\tvi~\red $u_{1} = \frac{49}{3}$ et $u_0=20$ ~} 
	
	\hskip 2cm donc \fbox{\tvi~\red $0\leqslant u_{1}<u_0 $~} 
	
	\hskip 2cm la proposition $H$ est vraie au rang 0\bigskip
	
	{\bf Hérédité} : Soit $n$ un entier supérieur ou égal à 0, pour lequel on suppose que la proposition $H$ est vraie
	
	\hskip 2cm pour cet entier on a donc \fbox{\tvi~$\red 0~\leqslant u_{n+1} < u_n$~} 
	
	\hskip 2cm donc \fbox{\tvi$\red 0~\leqslant \frac23u_{n+1} < \frac23u_n$~} en multipliant tous les termes par \fbox{\tvi~\red$\frac23$~}
	
	\hskip 2cm donc \fbox{\tvi~$\red 3~\leqslant \frac23u_{n+1}+3 < \frac23u_n+3$~} en \fbox{\tvi~\red ajoutant 3 partout~}
	
	\hskip 2cm c'est à dire \fbox{\tvi~ \red$0<3~\leqslant u_{n+2} < u_{n+1}$~} 
	
	\hskip 2cm donc la proposition $H$ est vraie au rang $n+1$ \bigskip
	
	{\bf Conclusion} : on sait que $H$ est vraie pour l'entier initial 0
	
	\hskip 1cm et, pour tout $n\in\N$, si la proposition est vraie au rang \fbox{\tvi\red~$n$~} alors on a démontré qu'elle 
	
	\hskip 1cm était encore vraie au rang \fbox{\tvi~\red$n+1$~}
	
	\hskip 1cm donc par récurrence, pour tout $n\in\N$, la proposition $H$ est vraie.\bigskip
	
	C'est à dire pour tout $n\in\N$, on a : \fbox{\tvi~\red$0~\leqslant u_{n+1} < u_n$~}\bigskip
	
	On peut donc conclure que la suite $u$ est \fbox{\red\tvi~décroissante et minorée par 0cm~}
	
\end{enumerate}

\end{document} 