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\newcommand{\exo}{\bigskip  \stepcounter{nexo} \vskip 0.3cm \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\small{EXERCICE~\arabic{nexo}}}}}}}\quad}

\begin{document}\everymath{\displaystyle}

\hfil{\Large \fbox{LES SUITES NUM\'ERIQUES}}

\exo Les limites de suites par le terme dominant.

Dans chacun des cas, déterminer les limites des suites ( $u_{n}$ ) en utilisant la méthode du terme dominant.

$$
\begin{array}{p{5cm}p{5cm}}
$u_{n}=\frac{2 n+1}{n+325} $&$ u_{n}=\frac{\sqrt{3 n+1}}{3+\sqrt{n}}$ \\
$u_{n}=\frac{2 n^{2}-3 n+2}{1-n} $&$ u_{n}=\frac{\sqrt{n^{2}+n+2}}{\sqrt{n^{2}-n-1}} $\\
$u_{n}=\frac{4 n^{2}+1}{n(2 n+1)} $&$ u_{n}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n} $\\
$u_{n}=\frac{3}{2 \sqrt{n}+17} $&$ u_{n}=\sqrt{n^{2}+n}-n$
\end{array}
$$

\exo Les limites de suites par un théorème de comparaison.

$\bullet$ On considère la suite ( $u_{n}$ ) définie par :
$
u_{n}=\frac{n+1}{2 n+\sin (n)}
$


\begin{enumerate}
\item Démontrer que pour tout $n \geq 1$ on a $\dfrac12<u_{n}$\\
\item Démontrer qu'à partir d'un certain rang on a $u_{n}<\dfrac12 +\dfrac1n$\\
\item Justifier que : $\lim _{n \rightarrow+\infty} u_{n}=\frac{1}{2}$
\end{enumerate}

$\bullet\bullet$ On considère la suite ( $\mathrm{u}_{\mathrm{n}}$ ) définie par : $u_{n}=\frac{3 n-1}{n+1}$

\begin{enumerate}
	\item  Montrer que pour tout $n \in N$ on a, $-1 \leq u_{n} \leq 3$\\
	\item  Que peut-on en déduire ?\\
	\item  \'Etudier le sens de variation de $u_{n}$.\\
	\item  Démontrer que pour $n$ suffisamment grand on a : $u_{n}>2,999$\\
	\item  Que peut-on en conjecturer ?
\end{enumerate}

\exo Les limites de suites par le théorème des gendarmes.
Pour chacune des suites déterminer par la théorème des gendarmes leurs limites.

$$
u_{n}=\frac{\cos (n)}{n+1} \qquad u_{n}=\frac{n+(-1)^{n}}{n^{2}+1} \qquad u_{n}=\frac{(-1)^{n}+n}{(-1)^{n}+2}
$$

\exo \'Etude d'une suite.
Soit $S_{n}$ la somme des nombres entiers de 1 à $n$ tel que :

$$
S_{n}=1+2+3+\cdots+n
$$

Soit $\mathrm{C}_{\mathrm{n}}$ la somme des cubes des nombres entiers de 1 à n tel que :

$$
C_{n}=1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots+n^{3}
$$

\begin{enumerate}
  \item Calculer $S_{n}$ et $C_{n}$ lorsque $n=1,2,3,4,5$. Que pouvons-nous conjecturer ?
  \item Démontrer par récurrence que :
\end{enumerate}

$$
\forall n \geq 1, C_{n}=\frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4}
$$

\exo \'Etude d'une suite.
On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0}=5$ et, pour tout entier $n,\quad 3 u_{n+1}=u_{n}+4$.

\begin{enumerate}
  \item Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$.
  \item Démontrer que, pour tout entier $\mathrm{n}, u_{n} \geq 2$.
  \item Montrer que ( $u_{n}$ ) est une suite décroissante.
  \item Montrer que la suite ( $u_{n}$ ) est convergente et déterminer sa limite.
  \item On pose pour tout entier $\mathrm{n}, v_{n}=u_{n}-2$.


Montrer que ( $v_{n}$ ) est une suite géométrique.\\
En déduire l'expression de $v_{n}$ en fonction de $n$.\\
\item Soit les deux suites :

$$
S_{n}=\sum_{k=0}^{n} v_{k} \quad T_{n}=\sum_{k=0}^{n} u_{k}
$$

Déterminer l'expression de $S_{n}$ et de $T_{n}$ en fonction de $n$.\\
\item Déterminer les limites des deux suites ci-dessus.
\end{enumerate}

\end{document}