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\frenchbsetup{StandardLists=true} % pour des points au lieu des tirets pour les listes par défaut

\setdefaultenum {1.}{a)}{}{}
\hyphenpenalty 10000 % empéèhe la coupure de mots
\renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}} %centrage vertical des cellules d'un tableau tabularx

\newcommand{\R}{\mathds {R}}
\newcommand{\N}{\mathds {N}}

\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}

\def\ds{\displaystyle }
\def\tvi{\vrule height 15pt depth 10pt width 0pt }

\DecimalMathComma

% ########################### MES PARAMETRES ##############################################################
\def\monnumero{ 1 }
\def\madate{ Setembre 2025}
% ########################### MES PARAMETRES ##############################################################

% en-tete
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée Schuman Perret\\ \madate}}} %gauche
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{Série d'exercices sur la récurrence}}}}} %centre
\rhead{\footnotesize{\textsf{T\textsuperscript{erm}}}}%droit
%pied de page
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}}
\lfoot{\scriptsize{\textsf{\textsc{Stéphane Le Méteil }}}}

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\newcounter{nexo}\setcounter{nexo}{0}
\newcommand{\exo}{\bigskip  \stepcounter{nexo} \vskip 0.3cm \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\small{EXERCICE~\arabic{nexo}}}}}}}\quad}


\newcommand{\Exo}[1]{\par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\small{EXERCICE #1}} }}}}}

\begin{document}\everymath{\displaystyle}

\exo Soit $U$ la suite définie par $U_0 = 0$ et pour tout $n\in\N$, on a :$$~U_{n+1} = \dfrac13 U_n+6$$

Démontrer par récurrence que pour tout $n\in\N$, on a : $U_n<U_{n+1}$

\exo Soit $U$ la suite définie par $U_0 = 20$ et pour tout $n\in\N,$ on a :$$~U_{n+1} = \dfrac34 U_n+3$$

Démontrer par récurrence que pour tout $n\in\N$, on a : $U_n>U_{n+1}$


\exo Soit $U$ la suite définie par $U_0 = 0$ et pour tout $n\in\N,$ on a :$$~U_{n+1} = \sqrt{2U_n+3}$$

Démontrer par récurrence que pour tout $n\in\N$, on a : $U_n\leqslant U_{n+1}$

\exo Soit $U$ la suite définie par $U_0 = 0$ et pour tout $n\in\N,$ on a :$$~U_{n+1} = \frac23U_n+6$$

Démontrer par récurrence que pour tout $n\in\N$, on a : $U_n = 18\times \left(1-\left(\frac23\right)^n\right)$


\exo Démontrer par récurrence que pour tout $n\in\N^*$, on a : $$S_n = 1+2+\cdots+n  =\dfrac{n(n+1)}{2}$$

\end{document} 