%% probabilité binomiale.
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% ########################### MES PARAMETRES ##############################################################

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\begin{document}%\everymath{\displaystyle}

\exo BAC 2024 Septembre Métropole jour 1 [4 points]

\textit{Les deux parties sont indépendantes.}

\smallskip

Un laboratoire fabrique un médicament conditionné sous forme de cachets.

\begin{center}
	\textbf{Partie A}
\end{center}

Un contrôle de qualité, portant sur la masse des cachets, a montré que 2\,\% des cachets ont une masse non conforme. Ces cachets sont conditionnés par boîtes de 100 choisis au hasard dans la chaîne de production. On admet que la conformité d'un cachet est indépendante de celle des autres.

\smallskip

On note $N$ la variable aléatoire qui à chaque boîte de $100$~cachets associe le nombre de cachets non conformes dans cette boîte.

\begin{enumerate}
	\item Justifier que la variable aléatoire $N$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
	\item Calculer l'espérance de $N$ et en donner une interprétation dans le contexte de l'exercice.
	\item \textit{On arrondira les résultats à $10^{-3}$ près.}
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité qu'une boîte contienne exactement trois cachets non
		conformes.
		\item Calculer la probabilité qu'une boîte contienne au moins 95 cachets conformes.
	\end{enumerate}
	\item Le directeur du laboratoire veut modifier le nombre de cachets par boîte pour pouvoir affirmer : \og La probabilité qu'une boîte ne contienne que des cachets conformes est supérieure à 0,5\fg.
	
	Combien de cachets une boîte doit-elle contenir au maximum pour respecter ce critère ? Justifier.
\end{enumerate}

\begin{center}
	\textbf{Partie B}
\end{center}

On admet que les masses des cachets sont indépendantes les unes des autres. On prélève 
$100$~cachets et on note $M_i$, pour $i$ entier naturel compris entre 1 et $100$, la variable aléatoire qui donne la masse en gramme du $i$-ème cachet prélevé.

\smallskip

On considère la variable aléatoire $S$ définie par : 

\[ S= M_1+ M_2+ \ldots+ M_{100}.\]

On admet que les variables aléatoires $M_1$,\: $M_2$,\: \ldots,\: $M_{100}$ suivent la même loi de probabilité d'espérance $\mu = 2$ et d'écart-type $\sigma$.

\begin{enumerate}
	\item Déterminer $E(S)$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
	\item On note $s$ l'écart type de la variable aléatoire $S$.
	
	Montrer que : $s = 10\sigma$.
	\item On souhaite que la masse totale, en gramme, des comprimés contenus dans une boîte
	soit strictement comprise entre 199 et 201 avec une probabilité au moins égale à $0,9$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que cette condition est équivalente à : 
		
		\[P \left ( \left |S-200 \strut \right | \geqslant 1 \right ) \leqslant 0,1.\]
		
		\item En déduire la valeur maximale de $\sigma$ qui permet, à l'aide de l'inégalité de Bienaymé­-Tchebychev, d'assurer cette condition. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\exo Amérique du sud novembre jour 1 [6 points]

On dispose de deux urnes opaques U$_1$ et U$_2$.

L'urne U$_1$ contient 4 boules noires et 6 boules blanches.

L'urne U$_2$ contient 1 boule noire et 3 boules blanches.

On considère l'expérience aléatoire suivante :

On pioche au hasard une boule dans U$_1$ que l'on place dans U$_2$, puis on pioche au hasard une boule dans U$_2$.

On note:

\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
	\item $N_1$ l'évènement \og Piocher une boule noire dans l'urne U$_1$ \fg.
	\item $N_2$ l'évènement \og Piocher une boule noire dans l'urne U$_2$ \fg.
\end{itemize}

Pour tout évènement $A$, on note $\overline{A}$ son évènement contraire.

\medskip

\textbf{PARTIE A}

\medskip

\begin{minipage}{0.53\linewidth}
	
	\begin{enumerate}
		\item On considère l'arbre de probabilités ci-contre.
		\begin{enumerate}
			\item Justifier que la probabilité de piocher une boule noire dans l'urne U$_2$ sachant qu'on a pioché une boule blanche dans l'urne U$_1$ est $0,2$.
			\item Recopier et compléter l'arbre de probabilités ci-contre, en faisant apparaître sur chaque branche les probabilités des évènements concernés, sous forme décimale.
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.43\linewidth}
	\begin{center}
		\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=2.5pt,treesep = 1cm,levelsep=2.5cm]{\TR{}}
		{\pstree{\TR{$N_1$~}}
			{\TR{$N_2$}
				\TR{$\overline{N_2}$}	
			}
			\pstree{\TR{$\overline{N_1}$~}}
			{\TR{$N_2$}\ncput*{0,2}
				\TR{$\overline{N_2}$}	
			}
		}
	\end{center}
\end{minipage}

\begin{enumerate}[start=2]
	\item Calculer la probabilité de piocher une boule noire dans l'urne U$_1$ et une boule noire dans l'urne U$_2$.
	\item Justifier que la probabilité de piocher une boule noire dans l'urne U$_2$ est égale à 0,28.
	\item On a pioché une boule noire dans l'urne U$_2$
	
	Calculer la probabilité d'avoir pioché une boule
	blanche dans l'urne U$_1$ . On donnera le résultat sous forme décimale arrondie à $10^{-2}$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{PARTIE B}

\medskip

$n$ désigne un entier naturel non nul.

L'expérience aléatoire précédente est répétée $n$ fois de façon identique et indépendante, c'est-à-dire que les urnes U$_1$ et U$_2$ sont remises dans leur configuration initiale, avec respectivement 4 boules noires et 6 boules blanches dans l'urne U$_1$ et 1 boule noire et 3 boules blanches dans l'urne U$_2$, entre chaque expérience.

On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de fois où on pioche une boule noire dans l'urne U$_2$.

On rappelle que la probabilité de piocher une boule noire dans l'urne U$_2$ est égale à 0,28 et celle de piocher une boule blanche dans l'urne U$_2$ est égale à 0,72.

\medskip\goodbreak

\begin{enumerate}
	\item Déterminer la loi de probabilité suivie par $X$. Justifier votre réponse.
	\item Déterminer par le calcul le plus petit entier naturel n tel que:  $1 - 0,72^n \geqslant 0,9.$
	\item Interpréter le résultat précédent dans le contexte de l'expérience.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{PARTIE C}

\medskip

Dans cette partie les urnes U$_1$ et U$_2$ sont remises dans leur configuration initiale, avec respectivement 4 boules noires et 6 boules blanches dans l'urne U$_1$ et 1 boule noire et 3 boules blanches dans l'urne U$_2$.

\medskip

On considère la nouvelle expérience aléatoire suivante :

On pioche simultanément deux boules dans l'urne U$_1$ que l'on place dans l'urne U$_2$, puis on pioche au hasard une boule dans l'urne U$_2$.

\medskip

\begin{enumerate}
	\item Combien y a-t-il de tirages possibles de deux boules simultanément dans l'urne U$_1$ ?
	\item Combien y a-t-il de tirages possibles de deux boules simultanément dans l'urne U$_1$
	contenant exactement une boule blanche et une boule noire ?
	\item La probabilité de piocher une boule noire dans l'urne U$_2$ avec cette nouvelle expérience est- elle supérieure à la probabilité de tirer une boule noire dans l'urne U$_2$ avec l'expérience de la partie A ? Justifier votre réponse.
	
	\emph{On pourra s'aider d'un arbre pondéré modélisant cette expérience}.
\end{enumerate}

\goodbreak

\exo Amérique du sud novembre 2024 jour 2 [5 points]

Voici la répartition des principaux groupes sanguins des habitants de France:

\begin{center}
	\psset{xunit=1.2cm,yunit=0.12cm}
	\begin{pspicture}(8.5,41)
		\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=100](0,0)(0,0)(8.5,40)
		\uput[d](1,0){A+}\uput[d](2,0){O+}\uput[d](3,0){B+}\uput[d](4,0){A$-$}
		\uput[d](5,0){O$-$}\uput[d](6,0){AB+}\uput[d](7,0){B$-$}\uput[d](8,0){AB$-$}
		\multido{\n=0+5}{9}{\uput[l](0,\n){\n\,\%}}
		\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.8,0)(1.2,38.2)\uput[u](1,38.2){38,2\,\%}
		\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1.8,0)(2.2,36.5)\uput[u](2,36.5){36,5\,\%}
		\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](2.8,0)(3.2,7.7)\uput[u](3,7.7){7,7\,\%}
		\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](3.8,0)(4.2,6.8)\uput[u](4,6.8){6,8\,\%}
		\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](4.8,0)(5.2,6.5)\uput[u](5,6.5){6,5\,\%}
		\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](5.8,0)(6.2,2.5)\uput[u](6,2.5){2,5\,\%}
		\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](6.8,0)(7.2,1.4)\uput[u](7,1.4){1,4\,\%}
		\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](7.8,0)(8.2,0.4)\uput[u](8,0.4){0,4\,\%}
	\end{pspicture}
	
	\bigskip
	
	\emph{\scriptsize Source : https://fr.statista.com/statistiques/656036/groupes-sanguins-repartition-rh-france/}
	
\end{center}

A+, O+, B+, A$-$, O$-$, AB+, B$-$ et AB$-$ sont les différents groupes sanguins combinés aux rhésus.

Par exemple: A + est le groupe sanguin A de rhésus +.

Une expérience aléatoire consiste à choisir une personne au hasard dans la population française et à déterminer son groupe sanguin et son rhésus.

Dans l'exercice, on adopte les notations du type :

$A$ + est l'évènement \og la personne est de groupe sanguin A et de rhésus + \fg 

$A -$ est l'évènement \og la personne est de groupe sanguin A et de rhésus $-$ \fg

$A$ est l'évènement \og la personne est de groupe sanguin A \fg

\medskip

Les parties 1 et 2 sont indépendantes.

\textbf{Partie 1}

\medskip

On note $Rh$ + l'évènement \og La personne est de rhésus positif \fg.

\begin{enumerate}
	\item Justifier que la probabilité que la personne choisie soit de rhésus positif est égale à 0,849.
	\item Démontrer à l'aide des données de l'énoncé que $P_{Rh+}(A) = 0,450$ à 0,001 près.
	\item Une personne se souvient que son groupe sanguin est AB mais a oublié son rhésus.
	
	Quelle est la probabilité que son rhésus soit négatif ? Arrondir le résultat à 0,001 près.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie 2}

\medskip

Dans cette partie, les résultats seront arrondis à $0,001$ près.

\medskip

Un donneur universel de sang est une personne de groupe sanguin O et de rhésus négatif. On rappelle que 6,5\,\% de la population française est de groupe O$-$.

\medskip

\begin{enumerate}
	\item On considère $50$ personnes choisies au hasard dans la population française et on note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de donneurs universels.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la probabilité que 8 personnes soient des donneurs universels. Justifier votre réponse.
		\item On considère la fonction ci-dessous nommée \texttt{proba} d'argument k écrite en langage Python.
		
		\begin{center}
			\begin{tabular}{|l|}\hline
				def proba(k):\\
				\quad p=0\\
				\quad for i in range(k+1):\\
				\quad \quad p = p + binomiale(i,50,0.065)\\ 
				\quad return p\\ \hline
			\end{tabular}
		\end{center}
		Cette fonction utilise la fonction binomiale d'argument $i, n$ et $p$, créée pour l'occasion, qui renvoie la valeur de la probabilité $P(X = i)$ dans le cas où $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$.
		
		Déterminer la valeur numérique renvoyée par la fonction \texttt{proba} lorsqu'on saisit \texttt{proba(8)} dans la console Python. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
	\end{enumerate}
	\item Quel est le nombre minimal de personnes à choisir au hasard dans la population française pour que la probabilité qu'au moins une des personnes choisies soit donneur universel, soit supérieure à $0,999$.
\end{enumerate}


\end{document} 