% =========================================================
% Classe de document
% =========================================================
\documentclass[a4paper,12pt]{article}

% =========================================================
% Encodage, langue
% =========================================================
\usepackage[utf8]{inputenc} 
%\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}
\frenchbsetup{StandardLists=true}
\usepackage{eurosym}

% =========================================================
% Mathématiques
% =========================================================
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{dsfont}
\usepackage{mathrsfs}

% =========================================================
% Mise en page générale
% =========================================================
\usepackage[left=2.5cm,right=1.5cm,top=3cm,bottom=2.5cm]{geometry}

\setlength{\parindent}{0pt} % pas d'indentation
\hyphenpenalty=10000     % empêche la coupure de mots

% =========================================================
% En-têtes et pieds de page
% =========================================================
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{lastpage}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{26pt}
\setlength{\footskip}{18pt}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0pt}

% =========================================================
% Tableaux
% =========================================================
\usepackage{array}
\usepackage{tabularx}
\renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}} % centrage vertical
\newcolumntype{C}[1]{>{\centering\arraybackslash}m{#1}}
\newcolumntype{Y}{>{\centering\arraybackslash}X}
% centrage horizontal et vertical dans une case de xx cm
% =========================================================
% Colonnes, listes, divers
% =========================================================
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnseprule}{0.5pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}

\usepackage{enumerate}
\usepackage{setspace}
\usepackage[np]{numprint}
\DecimalMathComma

% =========================================================
% Graphiques (PSTricks)
% =========================================================
% Pour PDFLaTeX direct, utiliser auto-pst-pdf
% \usepackage{auto-pst-pdf}
\usepackage{pstricks-add,pst-tree}
\usepackage{tikz,pgfplots,tkz-tab}

% =========================================================
% Macros utilitaires
% =========================================================
\def\tvi{\vrule height 20pt depth 20pt width 0pt}

% =========================================================
% Paramètres document
% =========================================================
\def\moisEnCours{\ifcase\month
	\or Janvier\or F\'evrier\or Mars\or Avril\or Mai\or Juin\or
	Juillet\or Ao\^ut\or Septembre\or Octobre\or Novembre\or
	D\'ecembre\fi \relax}

% =========================================================
\def\madate{\moisEnCours~ \the\year}  %=======================
%\def\madate{Janvier 2026}       %=======================
\def\monSujet{Géométrie dans l'espace}      %=======================
\def\maClasse{T\textsuperscript{erm}Spé Maths} %=======================
% =========================================================

% =========================================================
% En-tête / pied de page
% =========================================================
\lhead{\footnotesize\textsf{Lycée Schuman Perret\\ \madate}}
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\goodbreak\textbf{\textsc{\monSujet}}}}}
\rhead{\footnotesize\textsf{\maClasse}}

\lfoot{\scriptsize\textsf{\textsc{Stéphane Le Méteil}}}
%\rfoot{\scriptsize\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}
\rfoot{\scriptsize\textsf{Page~\thepage~sur~\pageref*{LastPage}}}
% =========================================================
% Environnements Exercices
% =========================================================
\newcounter{nexo}
\setcounter{nexo}{0}

\newcommand{\exo}{%
	\bigskip
	\stepcounter{nexo}
	\vskip 0.3cm
	\par\textsf{\goodbreak\textbf{\textcolor{blue}{\small EXERCICE~\arabic{nexo}}}}\quad
}

% =========================================================
% Styles modernes pour titres et sections
% =========================================================
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}{\Large\bfseries\color{blue}}{\thesection}{1em}{}
\titleformat{\subsection}{\large\bfseries\color{cyan!70!black}}{\thesubsection}{0.8em}{}
\titleformat{\subsubsection}{\normalsize\bfseries\color{gray!70!black}}{\thesubsubsection}{0.5em}{}

% =========================================================
% Commandes utiles pour mise en page moderne
% =========================================================
\newcommand{\cadre}[1]{%
	\fbox{\parbox{\linewidth}{#1}}%
}

\newcommand{\important}[1]{%
	\goodbreak\textbf{\textcolor{red}{#1}}%
}

% =========================================================
% Utilitaires mathématiques
% =========================================================
\newcommand{\R}{\mathds{R}}
\newcommand{\N}{\mathds{N}}
\newcommand{\C}{\mathds{C}}
\newcommand{\vect}[1]{%
	\mathchoice%
	{\overrightarrow{\displaystyle #1\mkern4mu}}%
	{\overrightarrow{\textstyle #1\mkern4mu}}%
	{\overrightarrow{\scriptstyle #1\mkern4mu}}%
	{\overrightarrow{\scriptscriptstyle #1\mkern4mu}}%
}
\def\ds{\displaystyle}

\linespread{0.95}  % réduit légèrement l'interligne
\usepackage{enumitem}
\setlist[itemize]{noitemsep, topsep=2pt}
\setlist[enumerate]{noitemsep, topsep=2pt}

\usepackage[colorlinks=true, linkcolor=blue, urlcolor=cyan, citecolor=blue]{hyperref}



\begin{document}

\section{Exercices de base en géométrie dans l’espace}

\exo Dans un cube \(ABCDEFGH\) 

On pose les questions suivantes :
\begin{itemize}
	\item Comment peut-on repérer un sommet du cube à l’aide de coordonnées ?
	\item Peut-on décrire une arête du cube à l’aide d’un vecteur ?
\end{itemize}

\bigskip

{\bf Dans les exercices qui suivent le plan est muni d'un repère orthonormé \((O;\vect{i},\vect{j},\vect{k})\).}

\vskip -0.5cm

\exo On considère les points : $A(1;0;2) \quad \text{et} \quad B(3;1;4)$

\begin{enumerate}
	\item Calculer les coordonnées du vecteur \(\vect{AB}\).
	\item En déduire un vecteur directeur de la droite \((AB)\).
	\item Donner une représentation paramétrique de la droite \((AB)\).
\end{enumerate}

\exo Dans un repère orthonormé \((O;\vect{i},\vect{j},\vect{k})\), on donne les points :
\[
M(2;1;0), \quad N(4;3;2)
\]

\begin{enumerate}
	\item Donner les coordonnées du vecteur \(\vect{MN}\).
	\item Déterminer une représentation paramétrique de la droite \((MN)\).
\end{enumerate}

\exo On considère la droite \(d\) définie par :
$
\begin{cases}
	x = 1 + t \\
	y = 2 - t \\
	z = 3 + 2t
\end{cases}
$

\begin{enumerate}
	\item Le point \(A(3;0;7)\) appartient-il à la droite \(d\) ?
	\item Justifier la réponse.
\end{enumerate}

\exo On considère un cube \(ABCDEFGH\).

On pose les questions suivantes :
\begin{itemize}
	\item Combien de points faut-il pour définir un plan ?
	\item Comment peut-on décrire analytiquement la face \(ABCD\) du cube ?
\end{itemize}

\exo On considère les points :  $A(1;0;0), \quad B(0;1;0), \quad C(0;0;1)$

\begin{enumerate}
	\item Calculer les coordonnées des vecteurs  $\vect{AB}$ et $\vect{AC}$
	\item Montrer que ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires.
	\item On cherche une équation du plan \((ABC)\) de la forme 
	$ax + by + cz + d = 0$
	
	Déterminer les coefficients \(a\), \(b\), \(c\) et \(d\).
\end{enumerate}

\exo Déterminer une équation du plan  :

\medskip
\hfil passant par le point \(A(1;2;3)\) et de vecteur normal $\vect{n}(2;-1;1)$


\exo On considère le plan \(P\) d’équation :
\[
2x - y + z - 3 = 0
\]

\begin{enumerate}
	\item Le point \(M(1;2;3)\) appartient-il au plan \(P\) ?
	\item Justifier la réponse par un calcul.
\end{enumerate}

\exo Que répondre à la question : \begin{quote}
	« Une droite et un plan peuvent-ils ne pas se rencontrer dans l’espace ? »
\end{quote}

\exo On considère la droite \(d\) définie par :
$
\begin{cases}
	x = 1 + t \\
	y = 2 - t \\
	z = t
\end{cases}
\quad (t \in \mathbb{R})
$

et le plan \(P\) d’équation :
$
x + y + z - 3 = 0
$

\begin{enumerate}
	\item Vérifier que le point \(A(1;2;0)\) appartient à la droite \(d\).
	\item Déterminer si la droite \(d\) coupe le plan \(P\).
	\item Le cas échéant, déterminer les coordonnées du point d’intersection.
\end{enumerate}

\exo On considère la droite \(d\) définie par :
$
\begin{cases}
	x = t \\
	y = 1 + t \\
	z = 2 - t
\end{cases}
$

et le plan \(P\) d’équation :
$
x + y + z - 4 = 0
$

Déterminer la position relative de la droite \(d\) et du plan \(P\).

\medskip

\exo On considère la droite \(d\) définie par :
$
\begin{cases}
	x = 1 + t \\
	y = 2 + 2t \\
	z = 3 - t
\end{cases}
$

et le plan \(P\) d’équation :
$
x + y - z = 0
$

\begin{enumerate}
	\item Vérifier qu’un point de la droite appartient au plan.
	\item Montrer que tout point de la droite appartient au plan.
	\item Conclure sur la position relative de \(d\) et \(P\).
\end{enumerate}

\exo Comment répondre à ces deux questions ?
\begin{quote}
	« Comment reconnaître qu’une droite est perpendiculaire à un plan ? » 
	« Peut-on parler d’orthogonalité entre deux plans ? »
\end{quote}

\exo On considère la droite \(d\) définie par :
$
\begin{cases}
	x = 1 + t \\
	y = 2 - t \\
	z = 3 + 2t
\end{cases}
$

et le plan \(P\) d’équation :
$
2x - y + z - 4 = 0
$

\begin{enumerate}
	\item Donner un vecteur directeur de la droite \(d\).
	\item Donner un vecteur normal au plan \(P\).
	\item Calculer le produit scalaire de ces deux vecteurs.
	\item Conclure quant à l’orthogonalité de la droite \(d\) et du plan \(P\).
\end{enumerate}

\exo On considère les plans \(P_1\) et \(P_2\) d’équations :
\[
P_1 : x + y - z = 0
\]
\[
P_2 : 2x - y + z + 1 = 0
\]

\begin{enumerate}
	\item Donner un vecteur normal à chacun des deux plans.
	\item Calculer le produit scalaire de ces deux vecteurs normaux.
	\item Conclure sur la position relative des plans \(P_1\) et \(P_2\).
\end{enumerate}

\exo On considère la droite \(d\) définie par :
\[
\begin{cases}
	x = -1 + 2t \\
	y = 3 - t \\
	z = 1 + t
\end{cases}
\]

et le plan \(P\) d’équation :
\[
2x + y - z + 1 = 0
\]

Déterminer si la droite \(d\) est orthogonale au plan \(P\).

\medskip

\exo Déterminer si les plans \(P_1\) et \(P_2\) d’équations :
\[
P_1 : x - 2y + z - 1 = 0
\]
\[
P_2 : 2x + y + 2z + 3 = 0
\]
sont orthogonaux.

\exo Comment répondre à la question :
\begin{quote}
	« Comment déterminer la distance d’un point à un plan dans l’espace ? »
\end{quote}

\exo On considère le point :
\[
A(1;2;3)
\]
et le plan \(P\) d’équation :
\[
2x - y + z - 3 = 0
\]

\begin{enumerate}
	\item Donner un vecteur normal \(\vect{n}\) au plan \(P\).
	\item Déterminer une représentation paramétrique de la droite \(d\) passant par \(A\) et orthogonale au plan \(P\).
	\item Montrer que la droite \(d\) coupe le plan \(P\) en un point \(H\).
	\item Déterminer les coordonnées du point \(H\), projeté orthogonal de \(A\) sur le plan \(P\).
\end{enumerate}

\exo Calculer la distance du point \(M(2;-1;3)\) au plan \(P\) d’équation :
\[
x - 2y + 2z - 4 = 0
\]

\exo On considère le point \(A(0;1;2)\) et le plan \(P\) d’équation :
\[
x + y + z - 3 = 0
\]

\begin{enumerate}
	\item Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal \(H\) de \(A\) sur le plan \(P\).
	\item Calculer la distance \(AH\).
\end{enumerate}

\section{Extraits de sujet de bac}

\begin{enumerate}
	\setlength{\itemsep}{15pt}

	
	\item \goodbreak\textbf{Représentation paramétrique d’une droite} \\
	Déterminer les équations paramétriques de la droite passant par les points
	\[
	A(1;2;0) \quad \text{et} \quad B(3;0;4)
	\]
	
	\item \goodbreak\textbf{Position relative de deux droites} \\
	On considère les droites $d_1$ et $d_2$ de l’espace, définies par :
	\[
	d_1 : \begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 - t \\ z = t \end{cases}, \quad
	d_2 : \begin{cases} x = 2 + s \\ y = -1 + 2s \\ z = 1 + s \end{cases}
	\]
	Déterminer si $d_1$ et $d_2$ sont sécantes, parallèles, coplanaires ou non coplanaires.
	
	\item \goodbreak\textbf{Position relative droite / plan} \\
	Étudier la position relative de la droite
	$d$ d'équations paramétriques :$ \begin{cases} x = t \\ y = 1 + t \\ z = 2 - t \end{cases}$
	
	et du plan $P$ d’équation $x + y + z - 4 = 0$.
	
	\item \goodbreak\textbf{Équation cartésienne d’un plan} \\
	Déterminer une équation du plan passant par les points :
	\[
	A(1;0;0), \quad B(0;1;0), \quad C(0;0;1)
	\]
	
	\item \goodbreak\textbf{Appartenance d’un point à une droite ou un plan} \\
	Vérifier si le point $M(2;1;3)$ appartient à :
	\begin{itemize}
		\item la droite $d : \begin{cases} x = 1 + t \\ y = t \\ z = 2t \end{cases}$
		\item le plan $P : 2x - y + z - 3 = 0$
	\end{itemize}
	
	\item \goodbreak\textbf{Vrai / Faux justifié} \\
	Pour chaque affirmation, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier :
	\begin{enumerate}
		\item Trois points quelconques définissent toujours un plan.
		\item Une droite est orthogonale à un plan si et seulement si elle passe par un point du plan.
	\end{enumerate}
	
	\item \goodbreak\textbf{Projeté orthogonal d’un point sur un plan} \\
	Déterminer le projeté orthogonal du point
	\[
	A(1;2;3)
	\]
	sur le plan d’équation $2x - y + z - 3 = 0$.
	
	\item \goodbreak\textbf{Distance d’un point à un plan} \\
	Calculer la distance du point $M(2;-1;3)$ au plan $P$ d’équation $x - 2y + 2z - 4 = 0$.
	
	\item \goodbreak\textbf{Droite orthogonale à un plan} \\
	Vérifier si la droite
	\[
	d : \begin{cases} x = -1 + 2t \\ y = 3 - t \\ z = 1 + t \end{cases}
	\]
	est orthogonale au plan $P : 2x + y - z + 1 = 0$.
	
	\item \goodbreak\textbf{Problème combiné} \\
	Dans un cube $ABCDEFGH$ de côté 1, placé dans un repère orthonormé :
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l’équation du plan $(ABC)$.
		\item Étudier la position relative de la droite $(DH)$ avec le plan $(ABC)$.
		\item Calculer la distance du point $D$ au plan $(ABC)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{document}