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\def\madate{Mars 2026}

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% En-tête / pied de page
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\lhead{\footnotesize\textsf{Lycée Schuman Perret\\ \madate}}
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{Série d'exercices No~\monnumero\\Convexité}}}}}
\rhead{\footnotesize \textsf{T\textsuperscript{ère}Spé maths}}

\lfoot{\scriptsize\textsf{\textsc{Stéphane Le Méteil}}}
\rfoot{\scriptsize\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}

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% Environnements Exercices
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				EXERCICE~\arabic{nexo}}}}\affichepoints{#1}\quad}

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% OUTILS
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\def\e{\text{e}}

\begin{document}%\everymath{\displaystyle}

\exo On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par: $f(x) = \dfrac{6}{1 + 5\e^{-x}}$\bigskip

On a représenté sur le schéma ci-dessous la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$.

\begin{center}
	\psset{unit=0.7cm,arrowsize=2pt 3}
	\begin{pspicture}(-4,-0.5)(8,6.6)
		\multido{\n=-4+1}{13}{\psline[linewidth=0.1pt](\n,0)(\n,6.6)}
		\multido{\n=0+1}{7}{\psline[linewidth=0.1pt](-4,\n)(8,\n)}
		\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-4,-1)(8,6.6)
		\uput[d](1,0){1}\uput[l](0,1){1}\uput[dl](0,0){O}
		\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-4}{8}{6 1 5 2.71828 x exp div add div}
		\uput[u](7.5,6){\red $\mathcal{C}_f$}\psdots(1.60944,3)\uput[ul](1.60944,3){A}
	\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
	\item Montrer que le point A de coordonnées $(\ln 5~;~3)$ appartient à la courbe $\mathcal{C}_f$.
	\item Montrer que la droite d'équation $y = 6$ est une asymptote à la courbe $\mathcal{C}_f$.
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item On admet que $f$ est dérivable sur $\R$ et on note $f'$ sa fonction dérivée. Montrer que pour tout réel $x$, on a :
		
		\[f'(x) = \dfrac{30\e^{-x}}{\left(1 + 5\e^{-x}\right)^2}.\]
		
		\item En déduire le tableau de variations complet de $f$ sur $\R$.
	\end{enumerate}
	\item On admet que :
	
	\begin{itemize}
		\item $f$ est deux fois dérivable sur $\R$, on note $f''$ sa dérivée seconde ;
		\item pour tout réel $x$,
		\[f''(x) = \dfrac{30\e^{-x}\left(5\e^{-x} - 1\right)}{\left(1 + 5\e^{-x}\right)^3}.\]
	\end{itemize}
	
	\begin{enumerate}
		\item Étudier la convexité de $f$ sur $\R$. On montrera en particulier que la courbe $\mathcal{C}_f$ admet un point d'inflexion.
		\item Justifier que pour tout réel $x$ appartenant à $]-\infty~;~\ln 5]$, on a: $f(x)\geqslant \dfrac56 x + 1$.
	\end{enumerate}
	\item On considère une fonction $F_k$ définie sur $\R$ par $F_k(x) = k \ln \left(\e^x + 5\right)$, où $k$ est une constante réelle.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la valeur du réel $k$ de sorte que $F_k$ soit une primitive de $f$ sur $\R$.
		\item En déduire que l'aire, en unité d'aire, du domaine délimité par la courbe $\mathcal{C}_f$, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x = \ln 5$ est égale à $6\ln \left(\dfrac53\right)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\exo On considère une fonction $f$ définie et deux fois dérivable sur $]-2 ~;~+\infty[$. On note $\mathcal{C}_{f}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan, $f'$ sa dérivée et $f''$ sa dérivée seconde.

On a tracé ci-dessous la courbe $\mathcal{C}_{f}$ et sa tangente $T$ au point B d'abscisse $-1$.

On précise que la droite $T$ passe par le point A$(0 ~;~ -1)$.

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[x =45mm,y = 21mm,> = stealth,scale=0.7]
		\draw [color = gray!75, line width = 0.75pt, xstep=0.2, ystep = 0.5,dashed] (-1.85,-3.3) grid (1.22,1.2);
		\draw[->,line width=1pt] (-1.85,0) -- (1.22,0);
		\foreach \x in {0.2,1}
		\draw[shift={(\x,0)},color=black] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below, fill = white] {\footnotesize $\np{\x}$};
		\draw[->,line width=1pt] (0,-3.4) -- (0,1.25);
		\foreach \y in {0.5,1}
		\draw[shift={(0,\y)},color=black] (2pt,0pt) -- (-2pt,0pt) node[left, fill = white] {\footnotesize $\np{\y}$};
		\draw[color=black] (-2pt,-2pt) node[below left] {{\footnotesize  0}};
		\clip (-1.85,-3.4) rectangle (1.22,1.25);
		\draw[line width=1.25pt,color=red,smooth,samples=100,domain= -1.9:0.55 ] plot(\x,{\x*\x+2*\x-1+ln(\x+2)});
		\fill(0,-1) circle (2pt) node[below right]{A};
		\fill(-1,-2) circle (2pt) node[below right]{B};
		\node at (0.32,0.8){\red $ \mathcal{C}_f $};
		\draw[teal,line width=1pt] (-2,-3)--(1.5,0.5)node[pos=0.9,above]{$ T $};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\medskip

\textbf{Partie A : exploitation du graphique.}

\medskip

À l'aide du graphique, répondre aux questions ci-dessous.

\begin{enumerate}
	\item Préciser $f(-1)$ et $f'(-1)$.
	
	\item La fonction $f$ est-elle convexe sur son ensemble de définition ? Justifier. %j'ai incorporé la rectification d'énoncé, le sujet de base disait la courbe C_f est elle convexe.
	
	\item Conjecturer le nombre de solutions de l'équation $f(x) = 0$ et donner une valeur arrondie à $10^{-1}$ près d'une solution.
	
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B : étude de la fonction }\boldmath $f$ \unboldmath

\medskip

On considère que la fonction $f$ est définie sur $]-2 ~;~+\infty[$ par :

\[f(x) = x^{2}+ 2x - 1 + \ln (x + 2),\]
où ln désigne la fonction logarithme népérien.

\begin{enumerate}
	\item Déterminer par le calcul la limite de la fonction $f$ en $-2$. Interpréter graphiquement ce résultat.
	
	On admet que $\lim\limits_{x  \to +\infty} f(x)=+\infty$.
	
	\item Montrer que pour tout $x>-2, \quad f'(x)=\dfrac{2 x^{2}+6 x+5}{x+2}$.
	
	\item Étudier les variations de la fonction $f$ sur $]-2 ~;~+\infty[$ puis dresser son tableau de variations complet.
	
	\item Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $]-2 ~;~+\infty[$ et donner une valeur arrondie de $\alpha$ à $10^{-2}$ près.
	
	\goodbreak
	
	\item En déduire le signe de $f(x)$ sur $]-2~;~ +\infty[$.
	
	\item Montrer que $\mathcal{C}_{f}$ admet un unique point d'inflexion et déterminer son abscisse.
	
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C : une distance minimale.}

\medskip
Soit $g$ la fonction définie sur $]-2 ~;~ +\infty[$ par \quad $g(x)=\ln (x+2)$.

On note $\mathcal{C}_{g}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(\mathrm{0} ~;~  \mathrm{I}~,~ \mathrm{J})$, représentée ci-après.

Soit $M$ un point de $\mathcal{C}_{g}$ d'abscisse $x$.

Le but de cette partie est de déterminer pour quelle valeur de $x$ la distance $\mathrm{J}M$ est minimale.

On considère la fonction $h$ définie sur $]-2 ~;~ +\infty[$ par \quad $h(x)=\mathrm{J}M^{2}$.

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[x =60mm,y = 60mm,> = stealth]
		\draw [color = gray!75, line width = 0.5pt, xstep=0.2, ystep = 0.2,dashed] (-0.35,-0.1) grid (1.1,1.05);
		\draw[->,line width=1pt] (-0.35,0) -- (1.1,0);
		\foreach \x in {-0.2,0.2,0.4,0.6,0.8,1}
		\draw[shift={(\x,0)},color=black] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below, fill = white] {\footnotesize $\np{\x}$};
		\draw[->,line width=1pt] (0,-0.1) -- (0,1.05);
		\foreach \y in {0.2,0.4,0.6,0.8,1}
		\draw[shift={(0,\y)},color=black] (2pt,0pt) -- (-2pt,0pt) node[left, fill = white] {\footnotesize $\np{\y}$};
		\draw[color=black] (-2pt,-2pt) node[below left] {O};
		\draw[line width=1.2pt,color=red,smooth,samples=100,domain= -0.35:1.1 ] plot(\x,{ln(\x+2)});
		\fill(1,0) circle (2pt) node[above right]{I};
		\fill(0,1) circle (2pt) node[above right]{J};
		\fill(0.3,0.833) circle (2pt) node[above]{$ M $};
		\draw[dashed,line width=.9pt, teal] (0.3,0)node[below]{$ x $}--(0.3,0.833);
		\draw[teal,line width=0.9pt](0.3,0.833)--(0,1);
		\node at (-0.25,0.5){$ \mathcal{C}_g $};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
	\item Justifier que pour tout $x>-2$, on a : \quad $h(x)=x^{2}+[\ln (x+2)-1]^{2}$.
	
	\item On admet que la fonction $h$ est dérivable sur $]-2 ~;~ +\infty[$ et on note $h'$ sa fonction dérivée.
	
	On admet également que pour tout réel $x>-2$,
	
	$$h'(x)=\dfrac{2 f(x)}{x+2}$$
	
	où $f$ est la fonction étudiée en \textbf{partie B}.
	
	\begin{enumerate}
		\item Dresser le tableau de variations de $h$ sur $]-2 ~;~ +\infty[$.
		
		\emph{Les limites ne sont pas demandées.}
		
		\item En déduire que la valeur de $x$ pour laquelle la distance $\mathrm{J}M$ est minimale est $\alpha$ où $\alpha$ est le nombre réel défini à la question \textbf{4.} de la \textbf{partie B}.
	\end{enumerate}
	
	\item On notera $M_{\alpha}$ le point de $\mathcal{C}_{g}$ d'abscisse $\alpha$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que \quad $\ln (\alpha+2)=1-2 \alpha-\alpha^{2}$.
		
		\item En déduire que la tangente à $\mathcal{C}_{g}$ au point $M_{\alpha}$ et la droite $\left(\mathrm{J}M_{\alpha}\right)$ sont perpendiculaires.
		
		On pourra utiliser le fait que, dans un repère orthonormé, deux droites sont perpendiculaires lorsque le produit de leurs coefficients directeurs est égal à $-1$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document} 