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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
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\thispagestyle{empty}

\emph{Les parties {\rm A} et {\rm B} peuvent être traitées indépendamment}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
Chaque jour, un athlète doit sauter une  haie en fin d'entraînement. Son entraîneur estime, au vu de la saison précédente que

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]si l'athlète franchit la haie un jour,  alors il la franchira dans $90\,\%$ des cas le jour suivant ;
\item[$\bullet~~$]si l'athlète ne franchit pas la haie un jour, alors dans $70\,\%$ des cas il ne la franchira pas non plus le lendemain.
\end{itemize}

On note pour tout entier naturel $n$ :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]$R_n$ l'évènement : \og L'athlète réussit à franchir la haie lors de la $n$-ième séance \fg,
\item[$\bullet~~$]$p_n$ la probabilité de l'évènement $R_n$. On considère que $p_0 = 0,6$.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $n$ un entier naturel, recopier l'arbre pondéré ci-dessous et compléter les
pointillés.

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=2.5pt,treesep = 1cm,levelsep=2.5cm]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$R_n$~}\taput{$p_n$}}
{\TR{$R_{n+1}$}\taput{\ldots}
\TR{$\overline{R_{n+1}}$}\tbput{\ldots}
}
\pstree{\TR{$\overline{R_n}$~}\tbput{$1 - p_n$}}
{\TR{$R_{n+1}$}\taput{\ldots}
\TR{$\overline{R_{n+1}}$}\tbput{\ldots}
}
}
\end{center}
\item Justifier en vous aidant de l'arbre que, pour tout entier naturel $n$, on a :
\[p_{n+1} = 0,6p_n + 0,3.\]

\item On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $u_n = p_n - 0,75$.

	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
		\item Démontrer que, pour tout entier $n$ naturel $n$ :
		\[p_n = 0,75 - 0,15 \times  0,6^n.\]
		
		\item En déduire que la suite $\left(p_n\right)$ est convergente et déterminer sa limite $\ell$.
		\item Interpréter la valeur de $\ell$ dans le cadre de l'exercice.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Apres de nombreuses séances d'entraînement, l'entraineur estime maintenant que l'athlète franchit chaque haie avec une probabilité de $0,75$ et ce indépendamment d'avoir franchi ou non les haies précédentes.

On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de haies franchies par l'athlète à l'issue d'un $400$~mètres haies qui comporte $10$~haies,

\medskip

\begin{enumerate}
\item Préciser la nature et les paramètres de la loi de probabilité suivie par $X$.
\item Déterminer, à $10^{-3}$ près, la probabilité que l'athlète franchisse les $10$~haies.
\item Calculer $p(X \geqslant 9)$, à $10^{-3}$ près,
\end{enumerate}


\end{document}