\documentclass[a4paper,12pt]{article}

% ===================== Encodage et langue =====================
\usepackage[utf8]{inputenc}       % encodage UTF-8
\usepackage[french]{babel}        % français
\frenchbsetup{StandardLists=true} % points dans les listes par défaut
\hyphenpenalty=10000              % empêche la coupure de mots

% ===================== Mise en page ===========================
\usepackage[left=1.5cm,right=1.5cm,top=2cm,bottom=2cm]{geometry}
\setlength{\parindent}{0mm}       % pas d'indentation
\setlength{\columnsep}{30pt}      % espacement colonnes
\setlength{\columnseprule}{0.5pt}

% ===================== Maths ================================
\usepackage{amsmath,amssymb}      % symboles math
\usepackage{dsfont}               % pour \mathds
\usepackage[np]{numprint}         % formatage des nombres
\DecimalMathComma                 % utilise la virgule pour les décimales

% ===================== Tableaux =============================
\usepackage{array,tabularx}       
\renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}} % centrage vertical
\newcolumntype{Y}{>{\centering\arraybackslash}X} % colonne X centrée

% ===================== Graphiques ===========================
\usepackage{graphicx}             % inclusion d'images
\usepackage{tikz,tkz-tab}         % graphiques et tableaux de variation
\usepackage{pstricks-add}         % dessins pstricks (si nécessaire)

% ===================== Listes ===============================
\usepackage{enumerate}
\usepackage[alwaysadjust]{paralist}
\setdefaultenum{1.}{a)}{}{}       % personnalisation numérotation

% ===================== En-têtes et pieds de page ===========
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{lastpage}             % pour nombre de pages
\setlength{\headheight}{26pt}     
\setlength{\footskip}{18pt}       
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0pt}
\pagestyle{fancy}

% En-tête
\lhead{\footnotesize\textsf{Lycée Schuman Perret\\ \madate}} 
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{Fonction logarithme népérien}}}}} 
\rhead{\footnotesize\textsf{T\textsuperscript{erm}Spé maths}} 

% Pied de page
\lfoot{\scriptsize\textsf{\textsc{Stéphane Le Méteil}}}
\rfoot{\scriptsize\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}

% ===================== Commandes perso ======================
\newcommand{\R}{\mathds{R}}
\newcommand{\N}{\mathds{N}}
\newcommand{\Z}{\mathds{Z}}

\def\ds{\displaystyle}
\def\tv{\vrule height 10pt depth 10pt width 0.5pt}
\def\tvi{\vrule height 15pt depth 5pt width 0pt}

% ===================== Paramètres d'exercices ===============
\newcounter{nexo}\setcounter{nexo}{0}
\newcommand{\exo}{%
	\bigskip
	\stepcounter{nexo}
	\vskip 0.3cm
	\par
	{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{\small EXERCICE~\arabic{nexo}}}}}%
}

% ===================== Paramètres personnalisés =============
\def\monnumero{1}
\def\madate{Décembre 2025}

% ===================== Packages divers ======================
\usepackage{setspace} % si besoin pour interligne
\usepackage{multicol}
\usepackage{caption} % juste pour les légende des figures

\begin{document}%\everymath{\displaystyle}

\section{Définition}
	\subsection {Retour sur l'exponentielle.}
		
		On a déjà obtenu les informations suivantes à propos de l'exponentielle : 
		
		\begin{minipage}{7cm}		
		\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit{$x$/1,$exp(x)$/2}{$-\infty$,$+\infty$}
			\tkzTabVar{-/$0$,+/$+\infty$}
		\end{tikzpicture}
		\end{minipage}
		\begin{minipage}{7cm}		
		\psset{xunit=1cm,yunit=1cm,
			algebraic=true,dimen=middle,
			dotsize=3pt 0,linewidth=1pt,
			arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
		\begin{pspicture*}(-3.0,-0.5)(2.5,3.5)
			\psgrid[gridcolor=lightgray,subgriddiv=2,gridlabels=0]
			\psaxes[showorigin=false,  labelFontSize=\scriptstyle, 	xAxis=true, 	yAxis=true,
			Dx=1,Dy=1, 	ticksize=-2pt 0, subticks=2]{->}(0,0)(-3,-0.6)(2.5,3.5)[$x$,-120][$y$,-150]	
			\rput(-0.2,-0.3){\scriptsize 0}
			\psplot[linecolor=red,linewidth=1.0pt]{-3}{3}{EXP(x)}
		\end{pspicture*}	
		\end{minipage}
			
		Le fonction $exp$ est définie sur $\R$, prend ses valeurs dans $]0;+\infty[$.
		
		
				
	\subsection {Le logarithme népérien.}
		
		D'après le tableau de variation précédent, pour tout $k\in]0;+\infty[$,  il n'existe qu'une seule valeur $x$ telle  que $exp(x) = k$. Ce nombre est appelé {\blue logarithme népérien} de $k$. \medskip
		

		\hfil\begin{minipage}{7cm}		
			\psset{xunit=1cm,yunit=1cm,
				algebraic=true,dimen=middle,
				dotsize=3pt 0,linewidth=1pt,
				arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
			\begin{pspicture*}(-3.0,-0.5)(2.5,3.5)
				\psgrid[gridcolor=lightgray,subgriddiv=2,gridlabels=0]
				\psaxes[showorigin=false,  labelFontSize=\scriptstyle, 	xAxis=true, 	yAxis=true,
				Dx=1,Dy=1, 	ticksize=-2pt 0, subticks=2]{->}(0,0)(-3,-0.6)(2.5,3.5)[$x$,-120][$y$,-150]	
				\rput(-0.2,-0.3){\scriptsize 0}
				\rput(0.15,2.4){\small $k$}
				\psplot[linecolor=red,linewidth=0.5pt]{-3}{3}{EXP(x)}
				\psline[linecolor=blue,linewidth=1pt,linestyle=dashed]{->}(0,2.2)(0.79,2.2)(0.79,0)
			\end{pspicture*}	
		\end{minipage}
		
		\hfil On le note $\ln(k)$.\bigskip
		
		Par définition on a donc : pour tout réel $x\in]0;+\infty[, \; exp(\ln(k)) = k$ 
		aussi noté  \fbox{$e^{\ln(k)} = k$}
		
	\subsection {Fonction logarithme népérien.}	
		
		Puisque à chaque réel $k$ de $]0;+\infty[$, on peut associer un unique nombre réel $x$ tel que $exp(x)=k$ noté $\ln(k)$, cela définit alors une fonction de $]0;+\infty[$ vers $\R$ qui a chaque $k$ associe le nombre $\ln(k)$, c'est {\blue la fonction logarithme népérien}.\bigskip
		
		On note $\begin{array}[t]{lrcl}
			f : & \R & \longrightarrow & \R \\
			& x & \longmapsto & \ln(x) \end{array}$\bigskip
		
		La courbe représentative de cette fonction est l'ensemble des points $M$ de coordonnées $(x,y)$ où $y=\ln(x)$
		avec $x\in]0;+\infty[$ 	or ici $e^y = x$ \bigskip
		
		donc la courbe de $\ln$ correspond aux points de coordonnées $(e^y,y)$ où $y\in\R$\bigskip
		
		On peut alors déduire la courbe de $\ln$ à partir de la courbe de $\exp$ en échangeant les rôles des abscisses et des ordonnées. Cela correspond à en effectuer la symétrie par rapport à la bissectrice du repère (la droite d'équation $y=x$)\bigskip
		
		On a aussi : \fbox{\tvi pour tout $x\in]0;+\infty[$,\; pour tout $y\in\R$\quad  $y=\ln(x) $\qquad équivaut à \quad $e^y = x$ }
		
			
			\begin{minipage}{7cm}		
				\psset{xunit=1cm,yunit=1cm,
					algebraic=true,dimen=middle,
					dotsize=3pt 0,linewidth=1pt,
					arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
				\begin{pspicture*}(-3.0,-3.0)(3,3)
					\psgrid[gridcolor=lightgray,subgriddiv=2,gridlabels=0]
					\psaxes[showorigin=false,  labelFontSize=\scriptstyle, 	xAxis=true, 	yAxis=true,
					Dx=1,Dy=1, 	ticksize=-2pt 0, subticks=2]{->}(0,0)(-3,-3)(3,3)[$x$,-120][$y$,-150]	
					\rput(-0.2,-0.3){\scriptsize 0}
					\rput(0.15,2.4){\small $k$}
					\psplot[linecolor=red,linewidth=0.5pt]{-3}{3}{EXP(x)}
					\psplot[linecolor=black,linewidth=0.5pt,linestyle=dashed]{-3}{3}{x}
					\psplot[linecolor=blue,linewidth=1pt]{0.0001}{3}{ln(x)}
				\end{pspicture*}	
			\end{minipage}
			\hfil\begin{minipage}{12cm}		
			\psset{xunit=1cm,yunit=1cm,
				algebraic=true,dimen=middle,
				dotsize=3pt 0,linewidth=1pt,
				arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25,plotpoints=200}
			\begin{pspicture*}(-0.5,-4)(10,3)
				\psgrid[gridcolor=lightgray,subgriddiv=2,gridlabels=0]
				\psaxes[showorigin=false,  labelFontSize=\scriptstyle, 	xAxis=true, 	yAxis=true,
				Dx=1,Dy=1, 	ticksize=-2pt 0, subticks=2]{->}(0,0)(-0.5,-3.99)(10,3)[$x$,-120][$y$,-150]	
				\rput(-0.2,-0.3){\scriptsize 0}
				\psplot[linecolor=blue,linewidth=0.75pt]{0.0001}{10}{ln(x)}
			\end{pspicture*}
			
			\hfil la courbe représentative de $\ln$	
		\end{minipage}

\section{Propriétés algébriques}

	$\bullet$ Puisque $e^0 = 1$, on a : \fbox{\tvi $\ln(1) = 0$} \qquad puisque $e^1 = e$ on a \fbox{\tvi $\ln(e) = 1$}
	
	\vskip 0.5cm

	$\bullet$ Soient $a$ et $b$ deux réels strictement positifs,\\
	
	$a\times b = e^{\ln a}\times e^{\ln b} $ car pour tout $x\in ]0;+\infty[$, on a : $x= e^{\ln x}$\\
	
	$a\times b = e^{\ln a+\ln b}$ car pour tout $x,y\in\R$, on démontré que $e^x\times e^y = e^{x+y}$\\
	
	$\ln(a\times b) = \ln(a)+\ln(b)$ en appliquant $\ln$ de chaque côté du signe $=$ \\
	
	\hskip 5cm et sachant que $\ln(e^x) = x$ pour tout $x\in\R$
	
	On retient \fbox{\tvi pour tous $a$ et $b$ dans $]0;+\infty[$, on a: $\ln(a\times b) = \ln(a) + \ln(b)$}
	
	\bigskip	
	
	$\bullet$ Avec $b=\frac1a$, l'encadré devient : pour tous $a$ dans $]0;+\infty[$, on a: \\
	
	$\ln(a\times \frac1a) = \ln(a) + \ln(\frac1a)$ or $a\times \frac1a = 1$ et $\ln(1) =0$\\
	
	donc $0 = \ln(a) + \ln(\frac1a)$\\
	
	donc \fbox{\tvi pour tout $a$ dans $]0;+\infty[$, on a: $\ln(\frac1a) = -\ln(a)$}
	
	\bigskip	
	
	$\bullet$ pour tous $a$ et $b$ dans $]0;+\infty[$, on a: $\ln(a\times \frac1b) = \ln(a) + \ln(\frac1b)$\\
	
	donc \fbox{\tvi pour tous $a$ et $b$ dans $]0;+\infty[$, on a: $\ln(\frac{a}{b}) = \ln(a) - \ln(b)$}
	
	\bigskip	

	$\bullet$ pour tous $a$	dans $]0;+\infty[$, on a: $\ln(a\times a) = \ln(a) + \ln(a) = 2\ln(a)$\\
	
	et plus généralement, on peut montrer que :
	
	\hfil \fbox{\tvi pour tout $n\in\N$ et pour tout $a\in]0;+\infty[$, on a : $\ln(a^n ) =n\ln(a)$}

\section{\'Etude de la fonction $\ln$}

\subsection{Ensembles}

La fonction $\ln$ est définie sur $]0;+\infty[$ (qui est aussi noté $\R^+_*$), on admet qu'elle est aussi continue et dérivable sur cet intervalle.


\subsection{Dérivée et variation}

On sait que par construction pour tout $x\in\R$, on a : $(e^x)' = e^x$ \\

donc par composition pour toute fonction $u$ dérivable on a : $\Big(e^{u(x)}\Big)'  = e^{u(x)}\times u'(x)$\\

avec $u=\ln$ et sachant que pour tout $x>0$, on a $x=e^{\ln(x)}$, en dérivant on obtient : $1 = e^{\ln(x)}\times \ln'(x)$\\

donc $1=x\times \ln'(x)$ donc \fbox{\tvi pour tout $x>0$, on a: $\ln'(x) = \dfrac{1}{x}$}

\bigskip

Plus généralement on retient que :

pour toute fonction dérivable $u$ à valeurs dans $]0;+\infty[$, on a : \fbox{\tvi$ \Big(\ln(u)\Big)' = \dfrac{u'}{u}$}

\vskip 0.5cm

Puisque pour tout $x>0$, on a: $\ln'(x) = \dfrac{1}{x}>0$, la fonction ln est strictement croissante sur $]0;+\infty[$

\subsection{Limites}

Pour tout $M>0$, il existe $x_0 = e^M$ tel que pour tout $x>x_0$, $x>e^M>0$ or $\ln$ est strictement croissante sur $]0;+\infty[$ donc $ln(x) >ln(e^M)$ c'est à dire $\ln(x)>M$\bigskip

Ce qui signifie que \fbox{\tvi $\lim\limits_{x\to+\infty} \ln(x) = +\infty$}\bigskip

En posant alors $u=\frac1x$ l'égalité précédente devient : $\lim\limits_{\frac1u\to+\infty} \ln(\frac1u) = +\infty$ c'est à dire  $\lim\limits_{u\to0} -\ln(\frac1u) = +\infty$ donc \fbox{\tvi $\lim\limits_{u\to0} \ln(\frac1u) = -\infty$}

\vskip 0.5cm

Le tableau de variation est alors le suivant : \bigskip

\hfil \begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit{$x$/1,$\frac1x$/1,$\ln(x)$/2}  
	{$0$,$1$,$e$,$+\infty$}
	\tkzTabLine{ ,,,+}
	\tkzTabVar{-/$-\infty$,R/,R/,+/$+\infty$}
	\tkzTabIma{1}{4}{2}{$0$}
	\tkzTabIma{1}{4}{3}{$1$}
\end{tikzpicture}

\newpage

\subsection{Croissances comparées}

Soit $f$ la fonction définie sur $\R^+_*$ par $f(x) = \ln(x)-\sqrt{x}$, on a : $f'(x) = \dfrac1x-\dfrac{1}{2\sqrt{x}} = \dfrac{2-\sqrt{x}}{x}$\\

Pour $x>4$, on a : $\sqrt{x}>2$ donc $f'(x) <0$ donc $f$ est strictement décroissante sur $]4;+\infty[$\\

Par ailleurs $f(4) = \ln(4)-2$ or $4<e^2$ donc $\ln(4)<2$ donc $f(4) <0$\\

Donc pour tout $x>4$, on a $f(x)<0$ c'est à dire $\ln(x)<\sqrt{x}$ donc $0<\dfrac{\ln(x)}{x}<\dfrac{1}{\sqrt{x}}$\\

Or $\lim\limits_{x\to+\infty} \dfrac{1}{\sqrt{x}} = 0$ donc par comparaison \fbox{$\lim\limits_{x\to+\infty} \dfrac{\ln(x)}{x} = 0$}\\\\

A fortiori \fbox{pour tout $n\in\N^*$, on a : $\lim\limits_{x\to+\infty} \dfrac{\ln(x)}{x^n} = 0$}\\\\


En posant $u=\frac1x$ l'encadré précédent devient : pour tout $n\in\N^*$, on a : $\lim\limits_{\frac1u\to+\infty} \ln(\dfrac1u)\times u^n = 0$ c'est à dire \fbox{pour tout $n\in\N^*$, on a : $\lim\limits_{u\to0} u^n\ln(u) = 0$}\\


\section{Logarithme décimal}

\subsection{Définition}

On appelle {\blue logarithme décimal} la fonction notée log définie sur $]0;+\infty[$ par $\log(x) = \dfrac{\ln(x)}{\ln(10)}$

\subsection{Propriétés}

Les propriétés de log sont les mêmes que celles de ln et on démontre sans difficulté les résultats suivants : \\

$\log(1) = 0$,\qquad $\log(10) = 1$, \qquad et, plus généralement, pour tout $n\in\Z$, on a : $\log(10^n) =n$\\

Pour tous $A>0$ et $B>0$ on a : \bigskip

$\log(A\times B) = \log(A) + \log(B)$\qquad $\log\dfrac{1}{A} = -\log(A)$ \qquad $\log\dfrac{A}{B} = \log(A)-\log(B)$\\ 

Pour tout $u>0$, on a : $\log(\sqrt{u}) = \dfrac12\log(u)$


\eject


\renewcommand{\arraystretch}{3}
\setlength{\extrarowheight}{0pt} 


\begin{table}[h!]
	\centering
	\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|l|Y|l|}
		\hline
		\textbf{Propriété} & \textbf{Formule / Exemple} & \textbf{Conditions} \\ \hline
		Définition & $\ln(x) = y \iff e^y = x$ & $x>0$ \\ \hline
		Valeurs particulières & $\ln(1)=0$, $\ln(e)=1$ & -- \\ \hline
		Produit & $\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)$ & $a>0, b>0$ \\ \hline
		Quotient & $\ln(a/b) = \ln(a) - \ln(b)$ & $a>0, b>0$ \\ \hline
		Puissance & $\ln(a^n) = n \ln(a)$ & $a>0, n\in\mathbb{R}$ \\ \hline
		Dérivée & $(\ln(x))' = 1/x$ & $x>0$ \\ \hline
		Croissance & Strictement croissante & $x>0$ \\ \hline
		Limites & $\lim\limits_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty$\newline\newline  $\lim\limits_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty$ & -- \\ \hline
		Changement de base & $\log_b(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(b)}$ & $b>0, b\neq 1, x>0$ \\ \hline
	\end{tabularx}
	\caption*{Propriétés essentielles du logarithme naturel}
\end{table}

\hfil\begin{minipage}{12cm}		
	\psset{xunit=1cm,yunit=1cm,
		algebraic=true,dimen=middle,
		dotsize=3pt 0,linewidth=1pt,
		arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25,plotpoints=200}
	\hfil\begin{pspicture*}(-0.5,-4)(10,3)
		\psgrid[gridcolor=lightgray,subgriddiv=2,gridlabels=0]
		\psaxes[showorigin=false,  labelFontSize=\scriptstyle, 	xAxis=true, 	yAxis=true,
		Dx=1,Dy=1, 	ticksize=-2pt 0, subticks=2]{->}(0,0)(-0.5,-3.99)(10,3)[$x$,-120][$y$,-150]	
		\rput(-0.2,-0.3){\scriptsize 0}
		\psplot[linecolor=blue,linewidth=0.75pt]{0.0001}{10}{ln(x)}
	\end{pspicture*}
	
	\hfil la courbe représentative de $\ln$	
\end{minipage}


\end{document}


