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\hyphenpenalty 10000 % empèche la coupure de mots
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% ########################### MES PARAMETRES ##############################################################
\def\monnumero{ 1 }
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% ########################### MES PARAMETRES ##############################################################

% en-tete
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée Schuman Perret\\ \madate}}} %gauche
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\begin{document}\everymath{\displaystyle}\onehalfspacing

\exo Calculer en justifiant les limites des suites suivantes.

$$
\begin{array}{p{4cm}p{4cm}p{4cm}p{4cm}}
	$u_{n}=\frac{2+\frac{1}{3^n}}{2^n+4} $&$ u_{n}=\frac{\sqrt{5 n+1}}{3+\sqrt{n}}$&
	$u_{n}=\frac{2 n^{2}-3 n+2}{1-n} $&$ u_{n}=\frac{3+2(-1)^n}{5n+1} $\\
\end{array}
$$



\exo Soit $S_{n}$ la somme des nombres entiers de 1 à $n$ tel que :

$$
S_{n}=1+2+3+\cdots+n
$$

Soit $\mathrm{C}_{\mathrm{n}}$ la somme des cubes des nombres entiers de 1 à n tel que :
$
C_{n}=1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots+n^{3}
$

\begin{enumerate}
	\item Calculer $S_{n}$ et $C_{n}$ lorsque $n=1,2,3,4,5$. Que pouvons-nous conjecturer ?
	\item Démontrer par récurrence que : $
	\forall n \geq 1, C_{n}=\frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4}
	$
\end{enumerate}

\exo On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0}=5$ et, pour tout entier $n,\quad u_{n+1}=\dfrac13\times u_{n}+\dfrac43$.

\begin{enumerate}
	\item Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$.
	\item Démontrer que, pour tout entier $\mathrm{n}, u_{n} \geq 2$.
	\item Montrer que ( $u_{n}$ ) est une suite décroissante.
	\item Montrer que la suite ( $u_{n}$ ) est convergente et déterminer sa limite.
	\item On pose pour tout entier $\mathrm{n}, v_{n}=u_{n}-2$.
	
	
	Montrer que ( $v_{n}$ ) est une suite géométrique.\\
	En déduire l'expression de $v_{n}$ en fonction de $n$.\\
	\item Soit les deux suites :
	
	$$
	S_{n}=\sum_{k=0}^{n} v_{k} \quad T_{n}=\sum_{k=0}^{n} u_{k}
	$$
	
Déterminer l'expression de $S_{n}$ et de $T_{n}$ en fonction de $n$.\\
\item Déterminer les limites des deux suites ci-dessus.
\end{enumerate}

\end{document}