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% ########################### MES PARAMETRES ##############################################################
\def\monnumero{ 1 }
\def\madate{ Octobre 2025}
% ########################### MES PARAMETRES ##############################################################

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\newcommand{\Exo}[1]{\par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\small{EXERCICE #1}} }}}}}

\def\limn{\lim\limits_{n\to+\infty} }

\begin{document}\onehalfspacing

\exo Calculer en justifiant les limites des suites suivantes.

$u_{n}=\frac{2+\frac{1}{3^n}}{2^n+4} $\medskip

{\red On a $\limn 3^n=+\infty$ et $\limn2^n=+\infty$ donc $\limn 2+\frac {1}{3^n} =2$ et $\limn 2^n+4 = +\infty$ 
	
	donc $\limn u_n = 0$}\bigskip

$ u_{n}=\frac{\sqrt{5 n+1}}{3+\sqrt{n}}$

{\red On a $u_n = \dfrac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}}\times  \dfrac{\sqrt{5+\frac{1}{n}}}{\frac{3}{\sqrt{n}}+1} = \dfrac{\sqrt{5+\frac{1}{n}}}{\frac{3}{\sqrt{n}}+1}$ 
	%
	or $\limn\sqrt{5+\frac{1}{n}}=\sqrt{5}$ et $\limn\frac{3}{\sqrt{n}}+1 = 1$ donc $\limn u_n = \sqrt{5}$}\bigskip

$u_{n}=\frac{2 n^{2}-3 n+2}{1-n} $\medskip

{\red $u_n = \dfrac{n^2}{n}\times\dfrac{2-\frac3n+\frac{2}{n^2}}{\frac1n-1} = n\times\dfrac{2-\frac3n+\frac{2}{n^2}}{\frac1n-1}$
	
	or $\limn 2-\frac3n+\frac2{n^2}=2$ et $\limn \frac1n-1 = -1$ or $\limn n=n = +\infty$ donc $\limn u_n = -\infty$}\bigskip

$u_{n}=\frac{3+2(-1)^n}{5n+1} $\medskip

{\red On a : $\frac{3-2}{5n+1}\leqslant u_n\leqslant \frac{3+2}{5n+1}$ c'est à dire $\frac{1}{5n+1}\leqslant u_n\leqslant \frac{5}{5n+1}$

or $\limn \frac{1}{5n+1} = 0$ et $\limn \frac{5}{5n+1} = 0$ donc par théorème des Gendarmes $\limn u_n = 0$}

\exo Soit $S_{n}$ la somme des nombres entiers de 1 à $n$ tel que :

$$
S_{n}=1+2+3+\cdots+n
$$

Soit $\mathrm{C}_{\mathrm{n}}$ la somme des cubes des nombres entiers de 1 à n tel que :

$$
C_{n}=1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots+n^{3}
$$

\begin{enumerate}
	\item Calculer $S_{n}$ et $C_{n}$ lorsque $n=1,2,3,4,5$. Que pouvons-nous conjecturer ?
	
	{\red\renewcommand{\arraystretch}{1}
		
		\begin{tabular}{cc}
			\begin{tabular}{ccc}
				$n$&$S_n$&$C_n$\\\hline 
				1&1&1\\
				2&3&9\\
				3&6&36\\
				4&10&100\\
				5&15&225
			\end{tabular}	
			& il semble que $C_n = S_n^2$
		\end{tabular}
	}
	
	
	\item Démontrer par récurrence que :
\end{enumerate}

$$
\forall n \geq 1, C_{n}=\frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4}
$$


{\red $\square$ ~Soit $H_n$ la proposition "$C_{n}=\frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4}$"
	
	$\square$ ~Pour $n=1$, on a : $C_1=1$ et $\dfrac{1^2\times 2^2}{4} = 1$  donc $H_1$ est vraie.
	
	$\square$ ~Soit $n$ un entier naturel non nul pour lequel $H_n$ est vraie
	
	\hskip 1cm pour cet entier $n$, on a : $C_{n}=\frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4}$
	
	\hskip 1cm or  $C_{n+1} = C_n+(n+1)^3$
	
	\hskip 1cm donc $C_{n+1} = \frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4}+(n+1)^3 = \frac{n^{2}(n+1)^{2}+4(n+1)^3}{4} = \frac{(n+1)^{2}(n^2+4(n+1)}{4}$
	
	\hskip 1cm donc $C_{n+1} = \frac{(n+1)^{2}(n^2+4n+4)}{4} = \frac{(n+1)^{2}(n+2)^2)}{4}$
	
	\hskip 1cm donc $H_{n+1}$ est vraie.
	
	$\square$ ~$H_1$ est vraie et, pour tout $n\in\N^*$, si $H_n$ est vraie alors $H_{n+1}$ aussi 
	
	donc pour tout $n\in\N^*$, $H_n$ est vraie
	
	C'est à dire pour tout $n\in\N^*$, on a : $C_{n}=\frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4}$
	
}

\exo On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0}=5$ et, pour tout entier $n,\quad u_{n+1}=\dfrac13\times u_{n}+\dfrac43$.

\begin{enumerate}
	\item Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$.
	{\red $u_1  =\dfrac13u_0+\dfrac43 = 3$ puis $u_2 = \dfrac13u_1+\dfrac43 = \dfrac{7}{3}\approx 2,33$}
	
	\item Démontrer que, pour tout entier $\mathrm{n}, u_{n} \geq 2$.
	
	{\red $\square$ ~Soit $H_n$ la proposition "$u_{n} \geq 2$"
		
		$\square$ ~Pour $n=0$, on a : $u_0=5$ donc $H_0$ est vraie.
		
		$\square$ ~Soit $n$ un entier naturel  pour lequel $H_n$ est vraie
		
		\hskip 1cm pour cet entier $n$, on a : $u_n\geqslant2$
		
		\hskip 1cm donc $\dfrac13u_n\geqslant\dfrac23$
		
		\hskip 1cm puis $\dfrac13u_n+4\geqslant\dfrac23+\dfrac43$
		
		\hskip 1cm c'est à dire $u_{n+1}\geqslant 2$
		
		\hskip 1cm donc $H_{n+1}$ est vraie.
		
		$\square$ ~$H_1$ est vraie et, pour tout $n\in\N$, si $H_n$ est vraie alors $H_{n+1}$ aussi 
		
		donc pour tout $n\in\N$, $H_n$ est vraie
		
		C'est à dire pour tout $n\in\N$, on a : $u_n\geqslant2$
		
	}
	
	  \item Montrer que ( $u_{n}$ ) est une suite décroissante.
	
	{\red$\forall n\in\N$, on a : $u_{n+1}-u_n = -\dfrac23u_n+\dfrac43 = -\dfrac23(u_n-2)$
		
		or $u_n\geqslant2$ donc $u_n-2\geqslant0$ et $-\dfrac23<0$ donc $u_{n+1}-u_n\leqslant0$ donc $u_{n+1}\leqslant u_n$
		
		la suite est donc décroissante.}
	
	\item Montrer que la suite ( $u_{n}$ ) est convergente et déterminer sa limite.
	
	{\red Puisque la suite est décroissante et minorée par 2, 
		
		elle converge vers une valeur $L$ qui vérifie $L\geqslant2$
		
		D'après le théorème des suites monotones bornées, $L$ vérifie $L = \dfrac13L+\dfrac43$ 
		
		C'est à dire $\dfrac23L = \dfrac43$ donc $L=\dfrac43\times\dfrac32 = 2$
		
	}
	
	\item On pose pour tout entier $\mathrm{n}, v_{n}=u_{n}-2$.
	
	
	Montrer que ( $v_{n}$ ) est une suite géométrique.\\
	En déduire l'expression de $v_{n}$ en fonction de $n$.\\
	
	{\red$\forall n\in\N$, on a : $v_{n+1} =u_{n+1}-2 =\dfrac13u_n+\dfrac43-2 = \dfrac13(v_n+2)-\dfrac23 = \dfrac13v_n$
		
		donc la suite  ( $v_{n}$ ) es géométrique de raison $q=\dfrac13$. Par ailleurs $v_0 = u_0-2 = 5-2 = 3$
		
		On a donc $v_n=3\times\dfrac{1}{3^n}$}
	
	
	
	\item Soit les deux suites :
	
	$$
	S_{n}=\sum_{k=0}^{n} v_{k} \quad T_{n}=\sum\limits_{k=0}^{n} u_{k}
	$$
	
	Déterminer l'expression de $S_{n}$ et de $T_{n}$ en fonction de $n$.\\
	
	{\red D'après le cours, puisque $v$ est une suite géométrique de premier terme 3 et de raison $\frac13$, 
		
		on a : $S_n = 3\times \dfrac{1-\frac{1}{3^{n+1}}}{1-\frac13} = \dfrac{9}{2}\times\left(1-\frac{1}{3^{n+1}}\right)$\bigskip
		
		$T_{n}=\sum\limits_{k=0}^{n} u_{k} = \sum\limits_{k=0}^{n} 2+v_{k} = 2\times (n+1)+\dfrac{9}{2}\times\left(1-\frac{1}{3^{n+1}}\right)$
		
		
	}
	
	\item Déterminer les limites des deux suites ci-dessus.\bigskip
	
	{\red Puisque $q=\frac13$ vérifie $-1<q<1$, on a $\lim\limits_{n\to+\infty}q^n = 0$ donc $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1}{3^{n+1}} = 0$\bigskip
		
		Par ailleurs : $\lim\limits_{n\to+\infty}n+1 = +\infty$\bigskip
		
		On a donc $\lim\limits_{n\to+\infty}S_n = \dfrac92$ et $\lim\limits_{n\to+\infty}T_n = +\infty$
	}
\end{enumerate}
\end{document}