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% ########################### MES PARAMETRES ##############################################################
\def\monnumero{ 1 }
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% ########################### MES PARAMETRES ##############################################################

% en-tete
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\begin{document}\everymath{\displaystyle}\onehalfspacing

\exo [2pts]

\begin{enumerate}

\item Recopier et compléter l'égalité :

pour tout $n\in\N^*$, on a: $u_n = \dfrac{2n+3}{5n^2+1} = \dfrac{n\times \Big(\cdots\Big)}{n^2\times \Big(\cdots\Big)}  = \dfrac{n}{n^2}\times\dfrac {\Big(\cdots\Big)}{\Big(\cdots\Big)} = \cdots\times \dfrac{~~\cdots~~}{~~\cdots~~}$

\item Justifier alors que $\lim_{n\to+\infty} u_n = 0$

\end{enumerate}

\exo [2pts] Sachant que la suite $(U_n)$ est arithmétique, que $U_{17} = 12$ et $U_{150} = 107$ 

\begin{enumerate}
	\item Calculer sa raison $R$ et son premier terme $U_0$
	\item En déduire que $U_{59} = 42$
\end{enumerate}


\exo [5pts]  

Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie par $u_{0}=62$ et pour tout entier $n\geqslant0$ on a : $u_{n+1}=\sqrt{u_{n}+2}$.

\begin{enumerate}
	\item Calculer $u_1$ et et une valeur approchée à $10^{-2}$ de $u_2$.
	\item Démontrer par récurrence que pour tout $n\in\N$, on a: $2\leqslant u_{n+1}<u_n$. 	
	\item Que peut-on en déduire?
\end{enumerate}


\exo [5pts] 

\begin{enumerate}
	\item Montrer que pour tout $n\in\N$, on a : $2n^2+7n+6 = (n+2)(2n+3)$
	\item Montrer que pour tout $n\in\N$, on a :  $\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^2 = \dfrac{(n+1)(2n^2+7n+6)}{6}$
	\item Montrer par récurrence que pour tout $n \in \N^*$ : $1^2+2^2+\cdots+n^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} $
\end{enumerate}



\exo [6pts] 
Au 31 décembre 2024, un magazine possède \np{450000} abonnés. On note que chaque année, seuls 80\,\% des abonnés de l'année précédente renouvellent leur abonnement auxquels viennent s'ajouter \np{180000} nouveaux abonnés.

\medskip

On note $\left(u_n\right)$ une suite modélisant le nombre d'abonnés, exprimé en milliers, au $31$ décembre de l'année $(2024+n)$. On a donc $u_0 = 450$.

\medskip

\begin{enumerate}
	\item Calculer, selon ce modèle, le nombre d'abonnés au 31 décembre 2025.
	
	
	{\bf On admet alors que, pour tout entier naturel $n$,\: $u_{n+1} = 0,8u_n +180$.}
	
	\item On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$, par $v_n = u_n - 900$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $0,8$. Préciser son premier terme.
		\item Soit $n$ un entier naturel. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
		\item Montrer que pour tout entier naturel $n$, \:  $u_n = - 450 \times 0,8^n + 900$.
	\end{enumerate}
	\item La direction du magazine affirme qu'à long terme, le nombre d'abonnés dépassera \np{900000}. Que penser de cette affirmation ? Justifier la réponse.
	\item En s'appuyant sur ce modèle, au 31 décembre de quelle année le nombre d'abonnés dépassera-t-il \np{800000} pour la première fois ?
\end{enumerate}





\end{document}