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% ########################### MES PARAMETRES ##############################################################
\def\monnumero{ 1 }
\def\madate{ Septembre 2025}
% ########################### MES PARAMETRES ##############################################################

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\newcommand{\Exo}[1]{\par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\small{EXERCICE #1}} }}}}}

\begin{document}\everymath{\displaystyle}\onehalfspacing

\exo [2pts]

\begin{enumerate}

\item Recopier et compléter l'égalité :

{\red pour tout $n\in\N^*$, on a: $u_n = \dfrac{2n+3}{5n^2+1} = \dfrac{n\times \Big(2+\frac3n\Big)}{n^2\times \Big(5+\frac{1}{n^2}\Big)}  = \dfrac{n}{n^2}\times\dfrac {\Big(2+\frac3n\Big)}{\Big(5+\frac1{n^2}\Big)} = \frac1n\times \dfrac {2+\frac3n}{5+\frac1{n^2}}$}

\item Justifier alors que $\lim_{n\to+\infty} u_n = 0$

{\red Puisque $\lim\limits_{n\to+\infty} \frac1n=0$ on a aussi $\lim\limits_{n\to+\infty} \frac3n=0$ et $\lim\limits_{n\to+\infty} \frac1{n^2}=0$ donc $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n = 0\times \dfrac25 = 0$

}

\end{enumerate}

\exo [2pts] Sachant que la suite $(U_n)$ est arithmétique, que $U_{17} = 12$ et $U_{150} = 107$ 

\begin{enumerate}
	\item Calculer sa raison $R$ et son premier terme $U_0$
	
	{\red $107 = u_{150} = u_0+150R$\quad et\quad  $12 = u_{17}=u_0+17R$ 
		
	donc par différence $u_{150}-u_{17} = 107-12 = 133R$ donc $R=\frac{95}{133} = \frac57$
	
	puis $u_{17}=u_0+17R$ donc $u_0 = u_{17}-17R = -\frac17$}
	
	\item En déduire que $U_{59} = 42$
	
	{\red $u_{59} = u_0+59\times R = -\frac17+59\times\frac57 = 42$}
\end{enumerate}


\exo [5pts]  

Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie par $u_{0}=62$ et pour tout entier $n\geqslant0$ on a : $u_{n+1}=\sqrt{u_{n}+2}$.

\begin{enumerate}
	\item Calculer $u_1$ et et une valeur approchée à $10^{-2}$ de $u_2$.
	
	{\red $u_1  =\sqrt{62+2} = \sqrt{64} = 8$ puis $u_2=\sqrt{8+2} = \sqrt{10}\approx 3,17$}
	
	\item Démontrer par récurrence que pour tout $n\in\N$, on a: $2\leqslant u_{n+1}<u_n$. 	
	
	{\red \singlespacing
	
	{\bf Définition} : pour tout $n\in\N$, soit $H_n$  la proposition : '' $2~\leqslant u_{n+1} < u_n$ "\bigskip
	
	{\bf Initialisation} : pour l'entier $n=0$, on a : $u_{1} = 8$ et $u_0=62$ donc $2\leqslant u_{1}<u_0 $
	
	\hskip 2cm la proposition $H$ est vraie au rang 0\bigskip
	
	\newpage % #########################################################################################################
	
	{\bf Hérédité} : Soit $n$ un entier supérieur ou égal à 0, pour lequel on suppose que la proposition $H$ est vraie
	
	\hskip 2cm pour cet entier on a donc $\red 2~\leqslant u_{n+1} < u_n$
	
	\hskip 2cm donc $\red 4~\leqslant u_{n+1}+2 < u_n+2$ en ajoutant 2 partout
	
	\hskip 2cm donc $\red \sqrt{4}~\leqslant \sqrt{u_{n+1}+2} < \sqrt{u_n+2}$ car $\sqrt{~}$ est strictement croissante sur $[4;+\infty[$
	
	\hskip 2cm c'est à dire $2~\leqslant u_{n+2} < u_{n+1}$ 
	
	\hskip 2cm donc la proposition $H$ est vraie au rang $n+1$ \bigskip
	
	{\bf Conclusion} : on sait que $H$ est vraie pour l'entier initial 0
	
	\hskip 1cm et, pour tout $n\in\N$, si la proposition est vraie au rang $n$ alors on a démontré qu'elle 
	
	\hskip 1cm était encore vraie au rang $n+1$
	
	\hskip 1cm donc par récurrence, pour tout $n\in\N$, la proposition $H$ est vraie.\bigskip
	
	C'est à dire pour tout $n\in\N$, on a : $2~\leqslant u_{n+1} < u_n$
	
	}
	
	\item Que peut-on en déduire?
	
	{\red Puisque $\forall n\in\N$, on a: $ u_{n+1} < u_n$ la suite est strictement décroissante
	
	Puisque $\forall n\in\N$, on a: $ 2 \leqslant u_n$ la suite est minorée par 2
	
	Bonus : on peut alors en déduire que la suite est convergente vers une limite $L$ vérifiant $L\geqslant 2$
	
	 }
	
\end{enumerate}


\exo [5pts] 

\begin{enumerate}
	\item Montrer que pour tout $n\in\N$, on a : $2n^2+7n+6 = (n+2)(2n+3)$
	
	{\red Pour tout $n\in\N$, on a : $(n+2)(2n+3) = 2n^2+3n+4n+6 = 2n^2+7n+6$}
	
	\item Montrer que pour tout $n\in\N$, on a :  $\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^2 = \dfrac{(n+1)(2n^2+7n+6)}{6}$
	
	{\red Pour tout $n\in\N$, on a : 
		
		$\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)+6(n+1)^2}{6} $
		
		\hskip 5cm$=  \dfrac{(n+1)\times\big(n(2n+1)+6(n+1)\Big)}{6}  $
		
		\hskip 5cm$= \dfrac{(n+1)\times\big(2n^2+n+6n+6)\Big)}{6} $
		
		\hskip 5cm$=\dfrac{(n+1)(2n^2+7n+6)}{6}$ }

\newpage % #########################################################################################################
	
	\item Montrer par récurrence que pour tout $n \in \N^*$ : $1^2+2^2+\cdots+n^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} $
	
	
	{\red \singlespacing
	
	{\bf Définition} : pour tout $n\in\N^*$, soit $H_n$  la proposition : ''$1^2+2^2+\cdots+n^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$"\bigskip
	
	{\bf Initialisation} : pour l'entier $n=1$, on a d'une part : $1^2+\cdots+n^2 = 1^2$ 
	
	et d'autre part $\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \dfrac{1\times2\times 3}{6} = \dfrac66 = 1$ la proposition $H$ est vraie au rang 1\bigskip
	
	{\bf Hérédité} : Soit $n$ un entier supérieur ou égal à 1, pour lequel on suppose que la proposition $H$ est vraie
	
	\hskip 2cm pour cet entier on a donc $1^2+2^2+\cdots+n^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} $
	
	\hskip 2cm donc $1^2+2^2+\cdots+n^2+(n+1)^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} +(n+1)^2$
	
	\hskip 2cm donc $1^2+2^2+\cdots+n^2+(n+1)^2= \dfrac{(n+1)(2n^2+7n+6)}{6} = \dfrac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}$
	
	\hskip 2cm donc $1^2+2^2+\cdots+n^2+(n+1)^2= \dfrac{(n+1)(n+1+2)(2(n+1)+1)}{6}$
	
	\hskip 2cm donc la proposition $H$ est vraie au rang $n+1$ \bigskip
	
	{\bf Conclusion} : on sait que $H$ est vraie pour l'entier initial 1
	
	\hskip 1cm et, pour tout $n\in\N^*$, si la proposition est vraie au rang $n$ alors on a démontré qu'elle 
	
	\hskip 1cm était encore vraie au rang $n+1$
	
	\hskip 1cm donc par récurrence, pour tout $n\in\N^*$, la proposition $H$ est vraie.\bigskip
	
	C'est à dire pour tout $n\in\N^*$, on a : $1^2+2^2+\cdots+n^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
	
}




\end{enumerate}



\exo [6pts] 
Au 31 décembre 2024, un magazine possède \np{450000} abonnés. On note que chaque année, seuls 80\,\% des abonnés de l'année précédente renouvellent leur abonnement auxquels viennent s'ajouter \np{180000} nouveaux abonnés.

\medskip

On note $\left(u_n\right)$ une suite modélisant le nombre d'abonnés, exprimé en milliers, au $31$ décembre de l'année $(2024+n)$. On a donc $u_0 = 450$.

\medskip

\begin{enumerate}
	\item Calculer, selon ce modèle, le nombre d'abonnés au 31 décembre 2025.
	
	{\red $u_1 = 450\times 0,8+180 = 540$ C'est à dire $540000$ abonnés.}
	
\newpage % ###############################################################################################################

	{\bf On admet alors que, pour tout entier naturel $n$,\: $u_{n+1} = 0,8u_n +180$.}
	
	\item On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$, par $v_n = u_n - 900$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $0,8$. Préciser son premier terme.
		
		{\red Pour tout entier naturel $n$, on a : 
		
		$v_{n+1} = u_{n+1} - 900$
		
		\hskip 1cm $=0,8u_n +180-900$
		
		\hskip 1cm $=0,8u_n -720$
		
		\hskip 1cm $=0,8(v_n+900)-720$
		
		\hskip 1cm $=0,8v_n$
		
		La suite $v$ est géométrique de raison $q=0,8$. 
		
		Par ailleurs, on a $v_0 = u_0-900 = 450-900 = -450$}
		
		\item Soit $n$ un entier naturel. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
		
			{\red Pour tout entier naturel $n$, on a : 
			
			$v_{n} = v_0\times q^n = -450\times 0,8^n$} 
		
		\item Montrer que pour tout entier naturel $n$, \:  $u_n = - 450 \times 0,8^n + 900$.
		
			{\red Pour tout entier naturel $n$, on a : 
			
			$u_n = v_n+900  =-450\times 0,8^n+900$} 
		
	\end{enumerate}
	\item La direction du magazine affirme qu'à long terme, le nombre d'abonnés dépassera \np{900000}. Que penser de cette affirmation ? Justifier la réponse.
	
		{\red Pour tout entier naturel $n$, on a : 
		
		$u_n = v_n+900  =900-450\times 0,8^n~~<~~900$ ~~ car $450\times 0,8^n>0$ 
		
		donc le nombre d'abonnés ne dépassera jamais $900000$}
	
	\item En s'appuyant sur ce modèle, au 31 décembre de quelle année le nombre d'abonnés dépassera-t-il \np{800000} pour la première fois ?
	
	{\red En calculant les premiers termes de la suite $u$, on découvre que le nombre d'abonnés dépassera 800000 pour $u_7$ c'est à dire le 31 décembre 2031}
\end{enumerate}





\end{document}