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\def\boxit#1#2{\leavevmode\setbox1=\hbox{\kern#1{#2}\kern#1}%
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\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
	{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
	{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
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	{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
	
\newcommand{\N}{\mathds {N}}

\setlength\parindent{0pt}

\begin{document}\everymath{\displaystyle}
	
\thispagestyle{empty}
\boxit{4pt}{Minitest 08}\rightarrowfill\quad\boxit{3pt}{Corrigé}\bigskip

Un centre de loisirs destiné aux jeunes de 11 ans à 18 ans compte 60\,\% de collégiens et 40\,\% de
lycéens.

Le directeur a effectué une étude statistique sur la possession de téléphones portables. Cette étude a
montré que 80\,\% des jeunes possèdent un téléphone portable et que, parmi les collégiens, 70\,\% en
possèdent un.

On choisit au hasard un jeune du centre de loisirs et on s'intéresse aux évènements suivants :\index{probabilités}

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
	\item $C$ : \og le jeune choisi est un collégien \fg{} ;
	\item $L$ : \og le jeune choisi est un lycéen \fg{} ;
	\item $T$ : \og le jeune choisi possède un téléphone portable \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 

\medskip

\emph{Rappel des notations}

\medskip

Si $A$ et $B$ sont deux évènements, $p(A)$ désigne la probabilité que l'évènement $A$ se réalise et $p_B(A)$ désigne la probabilité de $A$ sachant que l'évènement $B$ est réalisé. On note aussi $\overline{A}$ l'évènement contraire de $A$.

\medskip

\begin{enumerate}
	\item Donner les probabilités : $p(C),\: p(L),\: p(T),\: p_C(T)$.
	\item Faire un arbre de probabilités représentant la situation et commencer à le renseigner avec les données de l'énoncé.\index{arbre de probabilités}
	\item Calculer la probabilité que le jeune choisi soit un collégien possédant un téléphone portable.
	\item Calculer la probabilité que le jeune choisi soit un collégien sachant qu'il possède un téléphone
	portable.
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $p(T \cap L)$, en déduire $p_L(T)$.
		\item Compléter l'arbre construit dans la question 2.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

{\red En lisant l'énoncé, on nous donne $p(C)=0,6,\: p(L)=1-0.6=0.4,\: p(T) = 0.8,\: p_C(T) = 0.7$.
\bigskip

L'arbre est alors le suivant : \bigskip

\begin{minipage}{0.25\linewidth}%une minipage pour le premier arbre
	% Créé avec PST+ et modifié à la main
	\psset{nodesep=1mm,levelsep=20mm,treesep=10mm}
	\pstree[treemode=R]{\Tr{$\Omega$}}
	{\pstree[ref=c]
		{\Tr{${\rm C}$}\naput{\small $0,6$}}
		{\Tr{${\rm T}$}\naput{\small $0,7$}
			\Tr{$\bar{\rm T}$}\nbput{\small $0,3$}}
		\pstree[ref=c]
		{\Tr{$\bar{\rm C}$}\tbput{\small $0,4$}}
		{\Tr{${\rm T}$}\taput{\small $?$}
			\Tr{$\bar{\rm T}$}\tbput{\small $?$}}
	}
\end{minipage}\hfill 	
\begin{minipage}{0.65\linewidth}	
$p(C\cap T) = 0,6 \times 0,7 = 0,42$, il y a $42\%$ de chance que le jeune choisi soit un collégien possédant un téléphone portable.\vskip 0.5cm

$p_T(C) = \dfrac{p(C\cap T)}{p(T)} = \dfrac{0,42}{0,8} = 0,525$, il y a $52,5\%$ de chance que le jeune choisi soit un collégien sachant qu'il possède un téléphone portable.\vskip 0.5cm
\end{minipage}\vskip 0.5cm

D'après la formule des probabilités totales : $p(T) =p(T\cap C) + p(T\cap L)$ donc $0,8 = 0,42+p(T\cap L)$ donc $p(T\cap L) = 0,8-0,42 = 0,38$, il y a $38\%$ de chance que le jeune choisi soit un lycéen possédant un téléphone portable.\vskip 0.5cm
	
$p_L(T) = \dfrac{p(C\cap L)}{p(L)} = \dfrac{0,38}{0,4} = 0,95$, il y a $97,5\%$ de chance que le jeune choisi possède un téléphone portable sachant qu'il est lycéen.\vskip 0.5cm

L'arbre complet est alors le suivant : \bigskip



	\psset{nodesep=1mm,levelsep=20mm,treesep=10mm}
\hfil\pstree[treemode=R]{\Tr{$\Omega$}}
	{\pstree[ref=c]
		{\Tr{${\rm C}$}\naput{\small $0,6$}}
		{\Tr{${\rm T}$}\ncput*{\tiny $0,7$}
			\Tr{$\bar{\rm T}$}\nbput{\small $0,3$}}
		\pstree[ref=c]
		{\Tr{$\bar{\rm C}$}\tbput{\small $0,4$}}
		{\Tr{${\rm T}$}\taput{\small $0,95$}
			\Tr{$\bar{\rm T}$}\tbput{\small $0,05$}}
	}


}

\end{document}

