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\newcommand{\N}{\mathds {N}}

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\def\espace{\vskip 1cm}

\setlength\parindent{0pt}

\begin{document}%\everymath{\displaystyle}
	
\thispagestyle{empty}
\boxit{4pt}{Minitest 07}\rightarrowfill\quad\boxit{3pt}{Corrigé}\bigskip

\doublespacing \vskip -0.3cm En général : 



Qu'appelle-t-on loi de probabilité d'une expérience aléatoire?  

\dotfill {\red une expérience dont le résultat dépend du hasard}\dotfill\bigskip

Qu'appelle-t-on variable aléatoire associée à cette expérience aléatoire ?  

\dotfill {\red une "règle du jeu" ou une fonction
	qui à toute issue de l'expérience aléatoire associe un nombre réel}\dotfill \bigskip

On lance ce dé et on lit la face supérieure. Si on obtient le "6" alors on gagne 5 euros si on obtient 2 ou 4, on ne gagne qu'un euro. Si on obtient le 1, le 3 ou le 5, on perd 2 euros. On appelle $X$ le gain (éventuellement négatif). \'Ecrire la loi de probabilité de la variable $X$

\hfil{\red \begin{tabular}{>{\centering\arraybackslash}p{2cm}|*{3}{>{\centering\arraybackslash}p{1cm}|} }$x=k$&5&1&$-2$\\\hline $P(X=k)$&$\frac16$&$\frac13$&$\frac12$\end{tabular}}

\vskip 1cm

Une loterie organisée par une association sportive est constituée d'un ensemble de billets numérotés de $1$ à 
$2000$. Un des billets rapporte un lot de $500$~\euro, deux billets un lot de $150$~\euro~ et cinq billets un lot de $100$~\euro. 
Le prix du billet est de $2$~\euro.

On achète un billet au hasard.  
$X$ est la variable aléatoire, définie sur $\Omega$, égale au gain algébrique procuré par le billet.

\begin{enumerate}
	\item Déterminer les valeurs prises par $X$ en tenant compte du prix du billet.
	
	\dotfill{\red $X$ peut prendre les valeurs $-2$ ou $148$ ou $98$ ou $498$ euros}\dotfill\bigskip
	\item Déterminer la loi de probabilité de $X$.\bigskip
	
	\hfil{\red \begin{tabular}{>{\centering\arraybackslash}p{2cm}|*{4}{>{\centering\arraybackslash}p{1cm}|} }$x=k$&$-2$&98&148&$498$\\\hline $P(X=k)$&$\frac{1992}{2000}$&$\frac{5}{2000}$&$\frac{2}{2000}$&$\frac{1}{2000}$\end{tabular}}\bigskip
	
	\item Calculer l'espérance mathématique de $X$. Qu'en concluez-vous ?
	
	{\red $E(X) = -2\times \frac{1992}{2000}+98\times\frac{5}{2000}+148\times\frac{2}{2000}+498\times\frac{1}{2000} = -1,35<0$,\\ le jeu est favorable à l'organisateur}\bigskip
	
	\item~[Bonus] L'association décide de limiter le nombre de billets à un nombre $x$, 
	
	sachant que 
	$1 \le x \le 2000$, pour que le jeu devienne 
	équitable. Calculer $x$.
	
	{\red On recherche $x$ pour que $0=E(X) = -2\times \frac{x-8}{x}+98\times\frac{5}{x}+148\times\frac{2}{x}+498\times\frac{1}{x}$,\\ 
	on obtient : $0=\frac{2x-1300}{x}$ donc $x=650$. Il faut vendre 650 billets.}
\end{enumerate}

\end{document} 