\documentclass[a4paper,12pt]{article}
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\usepackage [alwaysadjust]{paralist}

\usepackage{eurosym}
%\usepackage{spreadtab} % pour une tabulation automatique
%\usepackage{enumitem} % pour des puces différentes dans des listes
\usepackage{enumerate}
\frenchbsetup{StandardLists=true} % pour des points au lieu des tirets pour les listes par défaut

\usepackage{multicol}

\setdefaultenum {1.}{a)}{}{}
\hyphenpenalty 10000 % empèche la coupure de mots
\renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}} %centrage vertical des cellules d'un tableau tabularx

\newcommand{\R}{\mathds {R}}
\newcommand{\N}{\mathds {N}}
\newcommand{\Z}{\mathds {Z}}
\newcommand{\Q}{\mathds {Q}}
\newcommand{\C}{\mathds {C}}

\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}

\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}

\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{i},~\vect{j}\right)$}
\def\ds{\displaystyle }
\def\tvi{\vrule height 15pt depth 10pt width 0pt }

\DecimalMathComma

% ########################### MES PARAMETRES ##############################################################
\def\monnumero{ 3 }
\def\madate{ Setembre 2024}
% ########################### MES PARAMETRES ##############################################################

% en-tete
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée Schuman Perret\\ \madate}}} %gauche
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{Série d'exercices sur les suites}}}}} %centre
\rhead{\footnotesize{\textsf{1\textsuperscript{ère}}}}%droit
%pied de page
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}}
\lfoot{\scriptsize{\textsf{\textsc{Stéphane Le Méteil }}}}

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\newcounter{nexo}\setcounter{nexo}{0}
\newcommand{\exo}{\bigskip  \stepcounter{nexo} \vskip 0.3cm \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\small{EXERCICE~\arabic{nexo}}}}}}}\quad}

%\renewcommand{\euro}{\texteuro{}}
\newcommand{\Exo}[1]{\par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\small{EXERCICE #1}} }}}}}

\newcommand{\allumette}[3]{  % #1=x, #2=y, #3=angle de rotation
	\begin{scope}[shift={(#1,#2)}]
		\begin{scope}[rotate=#3]
			\filldraw[fill=yellow!50] (0.2,0) rectangle (3.72,0.1);
			\filldraw[fill=red!80!black] (3.72,0.05) ellipse (0.2 and 0.15);
		\end{scope}
	\end{scope}
}
\newcommand{\paquet}[2]{
	\allumette{#1}{#2}{60};
	\allumette{2+#1}{3.5+#2}{-60};
	\allumette{4+#1}{0+#2}{-180};}

\begin{document}\everymath{\displaystyle}

\exo Calculer les cinq premiers termes de la suites $U$ dans les quatre cas suivants : 

\begin{enumerate}
	\item $U_n = \dfrac{n+1}{n+2}$.
	\item $U_0 = 5$ et $U_{n+1} = 2U_n-1$ pour tout $n\in\N$.
	\item $U_0 = 0$, \quad $U_1 = 1$ et $U_{n} = U_{n-1}+U_{n-2}$ pour tout eniter $n\geqslant2$ .
	
	\quad(La suite de Fibonacci.)
	\item $U_0 = 2$ et $U_{n+1} = 3U_n-2n+1$.
\end{enumerate}


\exo Calculer les cinq premiers termes des deux suites $U$ et $V$ définies par $U_0 = -2$, $V_0 = 1$ et  
$\begin{cases}U_{n+1} = U_n+V_n-3\cr V_{n+1} = 2U_n-V_n+1\end{cases}$

\exo Soit $V$ la suite définie sur $\N$ par $V_n = 2n^2-3n+2$.
\begin{enumerate}
	\item Exprimer $V_{n+1}$ en fonction de $n$.
	\item \'Etudier le signe de $V_{n+1}-V_n$ en fonction de $n$.
	\item Que peut-on en conclure ?
\end{enumerate}

\exo 

\vskip -3cm\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	\paquet{0}{0}; \path (2,-1) node  {\'Etape 1}; 
\end{tikzpicture}
\qquad\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	\paquet{0}{0};
	\paquet{4}{0};
	\paquet{2}{3.5};\path (4,-1) node  {\'Etape 2}; 
\end{tikzpicture}
\qquad\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	\paquet{0}{0};
	\paquet{4}{0};
	\paquet{2}{3.5};
	\paquet{4}{0};
	\paquet{8}{0};
	\paquet{6}{3.5};
	\paquet{4}{7};\path (6,-1) node  {\'Etape 3}; 
\end{tikzpicture}

On considère la construction ci-dessus réalisée par étapes.

On note $U_n$ le nombre d'allumettes nécessaire sà la construction de étape $n$.

\begin{enumerate}
	\item Déterminer la définition récursive de la suite $U$.
	\item Parmi les expression directes suivantes laquelle est celle définissant $U_n$ : 
	\begin{enumerate}[a)]
		\item $U_n = \dfrac{3n^2+3n}{2}$\item $U_n = n^2+2n$\item $U_n = \dfrac{3n^2-n}{2}+1$\item $U_n = n^2+\dfrac{3n+1}{2}$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document} 
