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\hyphenpenalty 10000 % empèche la coupure de mots
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\DecimalMathComma

% ########################### MES PARAMETRES ##############################################################
\def\monnumero{ 3 }
\def\madate{ Novembre 2024 }
% ########################### MES PARAMETRES ##############################################################

% en-tete
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée Schuman Perret\\ \madate}}} %gauche
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\begin{document}%\everymath{\displaystyle}

\exo Dans un repère orthonormé, on considère le triangle ABC tels que $A(1;0)$, \quad $B(9;2)$\quad et\quad $C(3;8)$

Déterminer les coordonnées de l'orthocentre de ABC

\vskip 1cm

\fbox{\bf Corrigé}

\medskip

{\bf Hauteur issue de $C$}

$M$ est un point de la hauteur issue de $C$ ssi $\vect{CM}\perp\vect{AB}$

\hskip 5cm ssi $\vect{CM}\cdot\vect{AB} = 0 $

\hskip 5cm ssi $\begin{pmatrix}x-3\cr y-8\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}8\cr 2\end{pmatrix} = 0$

\hskip 5cm ssi $(x-3)\times 8 + (y-8)\times 2 = 0$

\hskip 5cm ssi $8x-24+2y-16 = 0$

\hskip 5cm ssi $8x+2y-40 = 0$

\hskip 5cm ssi \fbox{$4x+y-20 = 0$}

\bigskip

{\bf Hauteur issue de $B$}

$M$ est un point de la hauteur issue de $B$ ssi $\vect{BM}\perp\vect{AC}$

\hskip 5cm ssi $\vect{BM}\cdot\vect{AC} = 0 $

\hskip 5cm ssi $\begin{pmatrix}x-9\cr y-2\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}2\cr 8\end{pmatrix} = 0$

\hskip 5cm ssi $(x-9)\times 2 + (y-2)\times 8 = 0$

\hskip 5cm ssi $2x-18+8y-16 = 0$

\hskip 5cm ssi $2x+8y-34 = 0$

\hskip 5cm ssi \fbox{$x+4y-17 = 0$}

\bigskip

\begin{minipage}{10cm}\doublespacing

{\bf Coordonnées de l'orthocentre}

$M$ est l'orthocentre de ABC ssi $M$ est à l'intersection de deux hauteurs, ses coordonnées vérifient donc
simultanément les deux équations.

On résout donc le système : $\left\{\begin{matrix}4x+y-20 = 0\cr x+4y-17 = 0\end{matrix}\right.$



Cela donne $\left\{\begin{matrix}15y-48=0& \text{avec} 4L_2-L_1\rightarrow L_1\cr x+4y-17 = 0& \end{matrix}\right.$

Puis $\left\{\begin{matrix}y=\frac{48}{15} = \frac{16}{5}\cr x+4\times \frac{16}{5}-17 = 0 \end{matrix}\right.$

Et enfin $\left\{\begin{matrix}y=\frac{16}{5}\cr x= \frac{21}{5} \end{matrix}\right.$

\end{minipage}
\qquad
\begin{minipage}{8cm}

Vérification graphique

\newrgbcolor{ududff}{0.30196078431372547 0.30196078431372547 1.}
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\begin{pspicture*}(-1.3,-1.32)(10.76,9.58)
\multips(0,-1)(0,1.0){11}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(-1.3,0)(10.76,0)}
\multips(-1,0)(1.0,0){13}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(0,-1.32)(0,9.58)}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=2.,Dy=2.,ticksize=-2pt 0,subticks=2,showorigin=false]{->}(0,0)(-1.3,-1.32)(10.76,9.58)
\psline[linewidth=1pt,linecolor=blue](1.,0.)(3.,8.)
\psline[linewidth=1pt,linecolor=blue](3.,8.)(9.,2.)
\psline[linewidth=1pt,linecolor=blue](9.,2.)(1.,0.)
\psplot[linewidth=1.pt]{-1.3}{10.76}{(--40.-8.*x)/2.}
\psplot[linewidth=1.pt]{-1.3}{10.76}{(-34.--2.*x)/-8.}
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=ududff](1.,0.)
\rput[bl](1.08,0.2){\ududff{$A$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=ududff](9.,2.)
\rput[bl](9.08,2.2){\ududff{$B$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=ududff](3.,8.)
\rput[bl](3.08,8.2){\ududff{$C$}}
\rput[bl](2.54,10.36){$i$}
\rput[bl](-3.26,4.72){$j$}
\psdots[dotsize=4pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](4.2,3.2)
\rput[bl](4.28,3.36){\darkgray{$H$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}

\end{minipage}

Les coordonnées de l'orthocentre sont alors $\left(\dfrac{21}{5};\dfrac{16}{5}\right)$

\end{document}
