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\hyphenpenalty 10000 % empèche la coupure de mots
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{i},~\vect{j}\right)$}
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% ########################### MES PARAMETRES ##############################################################
\def\monnumero{ 1 }
\def\madate{ Novembre 2025}
% ########################### MES PARAMETRES ##############################################################

% en-tete
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée Schuman Perret\\ \madate}}} %gauche
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{Série d'exercices sur les probabilités}}}}} %centre
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%pied de page
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\newcommand{\Exo}[1]{\par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\small{EXERCICE #1}} }}}}}

\begin{document}\everymath{\displaystyle}

\exo 

Un joueur lance un dé parfait. Si le numéro sorti est $2$ ou $4$, il gagne $1,5$~\euro, 
si le numéro sorti est impair il gagne $0,5$~\euro, et si le $6$ sort, il perd $5$~\euro.

On appelle $X$ la variable aléatoire qui à un numéro associe le gain algébrique en euros.

\begin{enumerate}
	\item Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.
	\item Calculer $\mathbb{E}(X)$.
\end{enumerate}


\exo 

Une loterie organisée par une association sportive est constituée d'un ensemble de billets numérotés de $1$ à 
$2000$. Un des billets rapporte un lot de $500$~\euro, deux billets un lot de $150$~\euro~ et cinq billets un lot de $100$~\euro. 
Le prix du billet est de $2$~\euro.

On achète un billet au hasard.  
$X$ est la variable aléatoire, définie sur $\Omega$, égale au gain algébrique procuré par le billet.

\begin{enumerate}
	\item Déterminer les valeurs prises par $X$ en tenant compte du prix du billet.
	\item Déterminer la loi de probabilité de $X$.
	\item Calculer l'espérance mathématique de $X$. Qu'en concluez-vous ?
	\item L'association décide de limiter le nombre de billets à un nombre $x$, sachant que 
	$1 \le x \le 2000$, pour que le jeu devienne équitable. Calculer $x$.
\end{enumerate}


\exo 

Un club de natation propose à ses adhérents trois types d'activités : la compétition $C$, le loisir $L$ 
et l'aquagym $A$. Chaque adhérent ne peut pratiquer qu'une seule de ces activités. Voici la répartition des adhérents suivant l'activité choisie :
\[
L : 30\%, \qquad A : 20\%, \qquad C : 50\%.
\]

L'adhésion à la section $L$ ou à la section $A$ coûte $60$~\euro, tandis que l'adhésion à la section $C$ 
revient à $100$~\euro~ pour l'année.  
En outre, le club organise chaque année une journée de rencontre, notée $R$, pour laquelle une participation
de $x$ euros ($0 < x < 40$) par participant est demandée.  
Un tiers des adhérents de $L$, un quart de ceux de $A$ et la moitié de ceux de $C$ participent à cette journée.

\begin{enumerate}
	\item Compléter le tableau suivant en inscrivant les pourcentages qui conviennent :
	
	\[
	\begin{array}{c|c|c|c|c}
		& L & A & C & \text{Total} \\
		\hline
	\tvi	R &   &   &   &   \\\hline
		\tvi\overline{R} &   &   &   &   \\
		\hline
		\text{Total} & 30 & 20 & 50 & 100
	\end{array}
	\]
	
	\item On interroge au hasard un membre du club.  
	On appelle $S$ la variable aléatoire qui à chaque adhérent associe le montant annuel
	à verser au club (cotisation plus participation éventuelle à la rencontre).
	
	\begin{enumerate}
		\item Quelles sont les valeurs prises par $S$ ?
		\item Indiquer la loi de probabilité de $S$ en fonction de $x$.
		\item Calculer $\mathbb{E}(S)$ en fonction de $x$.
		\item À quel prix le directeur du club doit-il fixer la participation à la journée
		de rencontre s'il veut que le coût moyen par adhérent ne dépasse pas $90$~\euro ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\exo Construire un arbre.

Un avion possède deux moteurs identiques. La probabilité que chacun d'eux tombe
en panne est $0,001$.
On suppose que la panne d'un moteur n'a aucune influence sur la panne de l'autre moteur.

\begin{enumerate}
	\item Construire un arbre pondéré représentant la situation.
	\item Calculer la probabilité que les deux moteurs tombent en panne.
	\item Calculer la probabilité pour qu'aucun moteur ne tombe en panne.
\end{enumerate}


\exo Construire un arbre et étudier la loi de probabilité d'une variable aléatoire.

Un supermarché délivre une carte à gratter à chacun des passages de ses clients à la
caisse. La probabilité de découvrir ``gagné'' est $0,05$.
Soit $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de ``gagné'' après deux passages
en caisse.

\begin{enumerate}
	\item Déterminer la loi de probabilité de $X$.
	\item Déterminer l'espérance mathématique de $X$.
\end{enumerate}


\exo Construire un arbre et étudier la loi de probabilité d'une variable aléatoire.

On a effectué une enquête sur les destinations des vacances.  
Quelle que soit la personne interrogée :
\[
P(M) = 0,5\qquad
P(R) = 0,3\qquad
P(D) = 0,2
\]
où :
\begin{itemize}
	\item $M$ : « La personne a choisi le bord de mer »,
	\item $R$ : « La personne choisit la randonnée en montagne »,
	\item $D$ : « La personne reste à son domicile ».
\end{itemize}

On rencontre successivement deux personnes interrogées durant cette enquête.

\begin{enumerate}
	\item Construire l'arbre pondéré correspondant à cette expérience.
	\item Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre de personnes ayant choisi des
	vacances à la mer.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la loi de probabilité de $X$.
		\item Calculer la probabilité qu'une personne au moins ait choisi des vacances à la mer.
		\item Calculer l'espérance de $X$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\exo Construire un arbre et comprendre les 'au plus' ou 'au moins'.

On dispose d'une pièce de monnaie qui tombe sur Pile dans $70\%$ des cas.
On lance trois fois cette pièce.
Soit $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de fois où l'on fait Pile.

\begin{enumerate}
	\item Construire un arbre illustrant cette expérience.
	\item Calculer la probabilité d'obtenir exactement $2$ fois Pile.
	\item Calculer la probabilité d'obtenir au moins $1$ fois Pile.
	\item Calculer la probabilité d'obtenir au plus $2$ fois Pile.
\end{enumerate}

\end{document} 
