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% Classe de document
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\documentclass[a4paper,12pt]{article}

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% Encodage, langue
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\usepackage[utf8]{inputenc} 
%\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}
\frenchbsetup{StandardLists=true}
\usepackage{eurosym}

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% Mathématiques
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\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{dsfont}
\usepackage{mathrsfs}

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% Mise en page générale
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\usepackage[left=1cm,right=1cm,top=2.5cm,bottom=2.5cm]{geometry}

\setlength{\parindent}{0pt}  % pas d'indentation
\hyphenpenalty=10000         % empêche la coupure de mots

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% En-têtes et pieds de page
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\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{lastpage}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{26pt}
\setlength{\footskip}{18pt}
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\renewcommand{\footrulewidth}{0pt}

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% Tableaux
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\usepackage{array}
\usepackage{tabularx}
\renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}} % centrage vertical
\newcolumntype{C}[1]{>{\centering\arraybackslash}m{#1}}
\newcolumntype{Y}{>{\centering\arraybackslash}X}
% centrage horizontal et vertical dans une case de xx cm
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% Colonnes, listes, divers
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\usepackage{multicol}
\setlength{\columnseprule}{0.5pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}

\usepackage{enumerate}
\usepackage{setspace}
\usepackage[np]{numprint}
\DecimalMathComma

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% Graphiques (PSTricks)
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% \usepackage{auto-pst-pdf}
\usepackage{pstricks-add,pst-tree}
\usepackage{tikz,pgfplots,tkz-tab}

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% Macros utilitaires
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\def\tvi{\vrule height 20pt depth 20pt width 0pt}

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% Paramètres document
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\def\moisEnCours{\ifcase\month
	\or Janvier\or F\'evrier\or Mars\or Avril\or Mai\or Juin\or
	Juillet\or Ao\^ut\or Septembre\or Octobre\or Novembre\or
	D\'ecembre\fi \relax}

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\def\madate{\moisEnCours~ \the\year}   %=======================
%\def\madate{Janvier 2026}             %=======================
\def\monSujet{Correction du contrôle No~5}           %=======================
\def\maClasse{1\textsuperscript{ère}Spé Maths} %=======================
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% En-tête / pied de page
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\lhead{\footnotesize\textsf{Lycée Schuman Perret\\ \madate}}
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{\monSujet}}}}}
\rhead{\footnotesize\textsf{\maClasse}}

\lfoot{\scriptsize\textsf{\textsc{Stéphane Le Méteil}}}
\rfoot{\scriptsize\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}

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% Environnements Exercices
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\newcounter{nexo}
\setcounter{nexo}{0}

\newcommand{\exo}{%
	\bigskip
	\stepcounter{nexo}
	\vskip 0.3cm
	\par\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{\small EXERCICE~\arabic{nexo}}}}\quad
}

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% Styles modernes pour titres et sections
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\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}{\Large\bfseries\color{blue}}{\thesection}{1em}{}
\titleformat{\subsection}{\large\bfseries\color{cyan!70!black}}{\thesubsection}{0.8em}{}
\titleformat{\subsubsection}{\normalsize\bfseries\color{gray!70!black}}{\thesubsubsection}{0.5em}{}

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% Commandes utiles pour mise en page moderne
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\newcommand{\cadre}[1]{%
	\fbox{\parbox{\linewidth}{#1}}%
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\newcommand{\important}[1]{%
	\textbf{\textcolor{red}{#1}}%
}

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% Utilitaires mathématiques
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\newcommand{\R}{\mathds{R}}
\newcommand{\N}{\mathds{N}}
\newcommand{\C}{\mathds{C}}
\def\ds{\displaystyle}



\begin{document}%\everymath{\displaystyle}

\exo 

\begin{enumerate}
\item Pour tout $x\in\R$, on a : $f'(x)=-2x+2$ puis $f'(2)=-2\times 2+2 = -2$

\item Une équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse 2 est $y=f'(2)\times(x-2)+f(2)$ 

or $f(2) = -4+4+1 = 1$ donc $y=-2\times (x-2)+1$ C'est à dire $y=-2+4+1$. 


On a obtenu : \fbox{$y=-2x+5$}

\end{enumerate}

\exo On considère le polynôme $P$ défini sur $\R$ par $P(x)  = x^2+6x+5$

\begin{enumerate}
	\item On a $P(-2) = 4-12+5 = -3$
	\item La forme canonique de $P$ est $P(x) = (x+3)^2-3^2+5 = (x+3)^2-9+5 = (x+3)^2-4$
	\item Une factorisation de $P(x)$ à l'aide de la forme canonique est :
	
	\hfil $P(x) = (x-3)^2-2^2 = ((x+3)-2)((x+3)+2) = (x+1)(x+5)$
	\item $P(x)=0$ ssi $(x+1)(x+5) = 0$ donc $x=-1$ ou $x=-5$
	
	\emph{ Autre méthode : $\Delta = 36-20 = 16>0$ on a $\sqrt{\Delta} = 4$ donc $x_1=\dfrac{-6-4}{2} = -5$ et $x_2=\dfrac{-6+4}{2} = -1$}
	
	\item Le tableau de signe de $P(x)$
	
	Puisque : $P(x)=(x+1)(x+5)$
	
	\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit{$x$/1,$x+5$/1,$x+1$/1,$P(x)$/2}{$-\infty$,$-5$,$-1$,$+\infty$}
		\tkzTabLine{ ,-,z,+,t,+}
		\tkzTabLine{ ,-,t,-,z,+}
		\tkzTabLine{ ,+,z,-,z,+}
	\end{tikzpicture}
	
	\item D'après le tableau ci-dessus, les solutions de $P(x)<0$ sont les $x$ appartenant à l'intervalle $]-5,-1[$
	
	
\end{enumerate}

\exo 

La bibliothèque d'un lycée comporte $150$ romans policiers et $50$ romans de science-fiction.

On sait que $40\%$ des romans policiers sont français et que $70\%$ des romans de science-fiction sont français.

Séraphin choisit au hasard un ouvrage parmi les $200$ livres de la bibliothèque.

\begin{enumerate}

\item Traduire la situation sous la forme d'un arbre (ou d'un tableau) de probabilités.

$P$ policier, $\overline{P}$ science fiction, $F$ français, $\overline{F}$ étranger

On a: $\dfrac{150}{200} = 75\%$ de romans policiers



\psset{treemode=R,nodesep=1mm,levelsep=30mm,treesep=5mm}
%\pstree[treemode=R,levelsep=15ex]{\Tcircle{R} }{
	\pstree{\TR{$\Omega$}}{
		\pstree{\Tcircle{$P$}\taput{$75\%$}}{
			\Tcircle{$F$}\taput{$40\%$}
			\Tcircle{$\overline{F}$}\tbput{$60\%$}
		}
		\pstree{\Tcircle{$\overline{P}$}\tbput{$25\%$}}{
			\Tcircle{$F$}\taput{$70\%$}
			\Tcircle{$\overline{F}$}\tbput{$30\%$}
		}
	}

\item La probabilité qu'il choisisse un roman policier  est de $75\%$

\item La probabilité qu'il choisisse un roman policier français est de $0,75\times 0,40 = 0,3$ soit  $30\%$

\item La probabilité qu'il choisisse un ouvrage d’un auteur français est de $ 0,30 + 0,25\times 0,70 = 0,475$.

\item La probabilité qu'il choisisse un roman policier sachant que l'auteur est français  est calculée par $p_F(P) = \dfrac{p(P\cap F)}{p(F)} = \dfrac{0,30}{0,475}\approx 0,63$ soit environ $63\%$

\end{enumerate}


\exo On considère la suite définie par $U_0=20$ et pour tout $n\in\N$, par $U_{n+1}=3+\frac14\times U_n$

\begin{enumerate}
\item On calcule $U_1 = 3+\frac14\times 20 = \fbox{8}$ puis $U_2=3+\frac14\times U_1 = \fbox{5}$.\\
\item Comme $\dfrac{U_1}{U_0}=0,4$ et $\dfrac{U_2}{U_1}=0,625\neq 0,4$ la suite n'est pas géométrique.\\
\item On définit alors la suite $(V_n)$ par $V_n = U_n-4$
	\begin{enumerate}
		\item On calcule $V_0=U_0-4 = \fbox{16}$ et $V_1=U_1-4 = \fbox{4}$
		\item On a pour tout $n\in\N,~V_{n+1} = U_{n+1}-4$\\
		
		\hskip 5.2cm $ = 3+\frac14U_{n}-4$\\
		
		\hskip 5.2cm $ = \frac14(V_n+4)-1$\\
		
		\hskip 5.2cm $ = \frac14V_n+1-1$\\
		
		\hskip 5.2cm $ = \frac14V_n$ donc  $(V_n)$ est géométrique de raison $q=\frac14$
		
		\item D'après ce qui précède, pour tout $n\in\N$
		
		\hfil $V_n = V_0\times\left(\dfrac14\right)^n = 16\times \dfrac{1}{4^n} = \dfrac{16}{4^n} = \dfrac{4^2}{4^n} = \dfrac{1}{4^{n-2}}$ 
		
		puis, comme $U_n=V_n+4$, cela donne $U_n = 4+\dfrac{1}{4^{n-2}}$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document} 