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\documentclass[a4paper,12pt]{article}

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	\or Janvier\or F\'evrier\or Mars\or Avril\or Mai\or Juin\or
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\def\madate{\moisEnCours~ \the\year}   %=======================
%\def\madate{Janvier 2026}             %=======================
\def\monSujet{Corrigé du contrôle No~4}           %=======================
\def\maClasse{1\textsuperscript{ère}Spé Maths} %=======================
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\lhead{\footnotesize\textsf{Lycée Schuman Perret\\ \madate}}
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{\monSujet}}}}}
\rhead{\footnotesize\textsf{\maClasse}}

\lfoot{\scriptsize\textsf{\textsc{Stéphane Le Méteil}}}
\rfoot{\scriptsize\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}

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% Environnements Exercices
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\newcounter{nexo}
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\newcommand{\exo}{%
	\bigskip
	\stepcounter{nexo}
	\vskip 0.3cm
	\par\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{\small EXERCICE~\arabic{nexo}}}}\quad
}

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% Styles modernes pour titres et sections
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\titleformat{\section}{\Large\bfseries\color{blue}}{\thesection}{1em}{}
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\titleformat{\subsubsection}{\normalsize\bfseries\color{gray!70!black}}{\thesubsubsection}{0.5em}{}

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% Commandes utiles pour mise en page moderne
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% Utilitaires mathématiques
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\def\ds{\displaystyle}



\begin{document}\everymath{\displaystyle}

\exo On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=-x^2+2x+1$, et on note $\mathcal{C}_f$ sa courbe dans un repère du plan.

\begin{enumerate}
\item Allure, tangente en 2 et nombre dérivé en 2.

\psset{xunit=1cm,yunit=1cm,
	algebraic=true,dimen=middle,
	dotsize=3pt 0,linewidth=1pt,
	arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1.5,-2.5)(3.5,3.5)
	\psgrid[gridcolor=lightgray,subgriddiv=2,gridlabels=0]
	\psaxes[showorigin=false,labelFontSize=\scriptstyle,
	xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,
	ticksize=-2pt 0,subticks=2]
	{->}(0,0)(-1.5,-2.5)(5.5,3.5)[$x$,-120][$y$,-150]
	\rput(-0.2,-0.3){\scriptsize 0}
	\psplot[linecolor=red,linewidth=0.5pt]{-1.5}{3.5}{-x*x+2*x+1}
	\psplot[linecolor=blue,linewidth=0.5pt,linestyle=dashed]{-1.5}{3.5}{-2*x+5}
	\psline[linestyle=dashed]{->}(2,1)(3,1)(3,-1)
	\psdots(2,1)
\end{pspicture*}

{\red On lit environ $f'(2)\approx -2$.}

\item Dérivabilité en $2$

{\red $f(2+h) = -(2+h)^2+2(2+h)+1 = -(4+4h+h^2)+4+2h+1 = -h^2-4h-4+4+2h+1 = -h^2-2h+1$

or $f(2 ) =1$ donc $f(2+h)-f(2) = -h^2-2h$ donc $t_x = \dfrac{f(2+h)-f(2)}{h} = -h+-2$ donc $\lim\limits_{h\to0}t_x = -2$

Puisque ce nombre est un réel, $f$ est dérivable en 2 et le nombre dérivé est 2 est $f'(2) = -2$}

\item \'Equation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse 2.

{\red L'équation a pour forme $y=f(2)(x-2)+f(2)$ donc $y=-2(x-2)+1$ donc $y=-2x+5$}

\end{enumerate}

\exo On considère le polynôme $P$ défini sur $\R$ par $P(x)  = 3x^2+2x-5$

\begin{enumerate}
	\item Résoudre $P(x) = -5$
	
	{\red $P(x) = -5$ équivaut à $3x^2+2x = 0$ puis à $x(3x+2)=0$ 
		
		donc $P(x) = -5$ a pour unique solutions $x=0$ et $x=-\frac23$}
				
	\item \'Ecrire la forme canonique de $P$
	
	{\red $P(x) = 3\left(x^2+\frac23x-\frac53\right)$
	
	\qquad $P(x) = 3\left(\left(x+\frac13\right)^2-\dfrac19x-\frac53\right)$ 
	
	\qquad $P(x) = 3\left(\left(x+\frac13\right)^2-\dfrac19x-\frac{15}9\right)$ 
	
	\qquad $P(x) = 3\left(\left(x+\frac13\right)^2-\frac{16}9\right)$ 
	
	\qquad $P(x) = 3\left(x+\frac13\right)^2-\frac{16}3$ 
	}
	
	\item Factorisation de $P$.
	
	{\red $P(x) = 3\left(\left(x+\frac13\right)^2-\frac{16}9\right)$ 
	
	donc $P(x) = 3\left(\left(x+\frac13\right)^2-\left(\frac{4}3\right)^2\right)$ 
	
	donc $P(x) = 3\left(x+\frac13-\frac43\right)\left(x+\frac13+\frac43\right)$
	
	donc $P(x) = 3(x-1)\left(x+\frac53\right)$
	}
	\item \'Equation $P(x)=0$.
	
	{\red $P(x) = 3(x-1)\left(x+\frac53\right)$ donc $P(x) = 0$ ssi $x=1$ ou $x=-\frac53$}
	
	\item Tableau de signe de $P(x)$.
	
	{\red
	
	\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit{$x$/1, $3$/1, $(x-1)$/1, $(x+\frac53)$/1,$P(x)$/1}{$-\infty$,$-\frac53$,$1$,$+\infty$}
		\tkzTabLine{ ,+,t,+,t,+}
		\tkzTabLine{ ,-,t,-,z,+}
		\tkzTabLine{ ,-,z,+,t,+}
		\tkzTabLine{ ,+,z,-,z,+}
	\end{tikzpicture}
	
 }
	
	\item En déduire les solutions de $P(x)<0$
	
	{\red On lit dans le tableau $P(x)<0$ ssi $x\in\left]-\frac53;1\right[$}
	
	\item Résoudre $3x^4+2x^2-5 = 0$
	{\red On pose : $u=x^2$, l'équation dévient : $3u^2+2x-5 = 0$
	
	Elle est à présent du second degré, on retrouve l'équation du 1 donc $u=1$ ou $u= -\frac53$
	
	donc $x^2 = 1$ ou $x^2 = -\frac53$ ce qui est impossible
	
	donc $x=1$ ou $x=-1$
	
	}
	
	\item Résoudre $3x-\frac{5}{x} = -2$
	
	{\red $x=0$ n'est pas solution or en multipliant l'équation par $x$ cela donne $3x^2-5=2x$ donc $x^2-2x-5=0$
	
	On retrouve l'équation du 1) donc $x=1$ ou $x=-\frac53$}
	
\end{enumerate}

\goodbreak

\exo 

\begin{enumerate}
	\item Valeurs prises par $X$ en tenant compte du prix du billet.
	
	{\red $X$ prend les valeurs 498 ou 148 ou 98 ou -2}
	
	\item Loi de probabilité de $X$.
	
	{\red 
	
	$\begin{array}{c|c|c|c|c|c}
		X=k&498&148&98&-2&total\\\hline
		\tvi P(X=k)&\frac{1}{2000}&\frac{2}{2000}&\frac{5}{2000}&\frac{1992}{2000}&1
	\end{array}
	$
	}
	
	\item Espérance mathématique de $X$ et conclusion.
	
	{\red $E(X) =\dfrac{498}{2000}+\dfrac{296}{2000}+\dfrac{490}{2000}-\dfrac{3984}{2000} = \dfrac{-2700}{2000}= -1,35$
	
	Ce qui signifie que si on joue un très grand nombre de fois à ce jeu, en moyenne on va perdre 1,35 euros par partie. Comme l'espérance est négative, ce jeu est favorable à l'organisateur.}
	
	\item Limiter le nombre de billets à un nombre $x$
	
	{\red Pour que le jeu devienne équitable, on calcule $x$ pour que $E(X)=0$ 
		
		or $E(x) = \dfrac{498+296+490}{2000}+\dfrac{-2(x-8)}{x})$ cela donne $\dfrac{1284}{x} + \dfrac{-2x+16}{x}=0$ donc $1284=2x-16$ donc $2x=1300$ donc $x=650$
		
		Il faut limiter à 650 le nombre de billets vendus pour que je jeu soit équitable.
	
	}
\end{enumerate}



\exo 

\begin{enumerate}
	\item Arbre pondéré ci-contre modélisant la situation de l'énoncé.
	
	\vskip -3cm\hfill\begin{tikzpicture}[scale=1]\scriptsize
			% Styles (MODIFIABLES)
			\tikzstyle{fleche}=[->,>=latex,thick]
			\tikzstyle{noeud}=[fill=white,circle,inner sep=2pt]
			\tikzstyle{feuille}=[fill=white,circle,inner sep=2pt]
			\tikzstyle{etiquette}=[midway,fill=white, inner xsep=3pt, inner ysep=1.5pt]
			% Dimensions (MODIFIABLES)
			\def\DistanceInterNiveaux{2}
			\def\DistanceInterFeuilles{1}
			% Dimensions calculées (NON MODIFIABLES)
			\def\NiveauA{(0)*\DistanceInterNiveaux}
			\def\NiveauB{(1)*\DistanceInterNiveaux}
			\def\NiveauC{(2)*\DistanceInterNiveaux}
			\def\InterFeuilles{(-1)*\DistanceInterFeuilles}
			% Noeuds (MODIFIABLES : Styles et Coefficients d'InterFeuilles)
			\node[noeud] (R) at ({\NiveauA},{(2.5)*\InterFeuilles}) {$ $};
			\node[noeud] (Ra) at ({\NiveauB},{(0.5)*\InterFeuilles}) {$A$};
			\node[feuille] (Raa) at ({\NiveauC},{(0)*\InterFeuilles}) {$S$};
			\node[feuille] (Rab) at ({\NiveauC},{(1)*\InterFeuilles}) {$\overline{S}$};
			\node[noeud] (Rb) at ({\NiveauB},{(2.5)*\InterFeuilles}) {$B$};
			\node[feuille] (Rba) at ({\NiveauC},{(2)*\InterFeuilles}) {$S$};
			\node[feuille] (Rbb) at ({\NiveauC},{(3)*\InterFeuilles}) {$\overline{S}$};
			\node[noeud] (Rc) at ({\NiveauB},{(4.5)*\InterFeuilles}) {$C$};
			\node[feuille] (Rca) at ({\NiveauC},{(4)*\InterFeuilles}) {$S$};
			\node[feuille] (Rcb) at ({\NiveauC},{(5)*\InterFeuilles}) {$\overline{S}$};
			% Arcs (MODIFIABLES : Styles)
			\draw[fleche] (R.east)--(Ra.west) node[etiquette] {\red $0,25$};
			\draw[fleche] (Ra.east)--(Raa.west) node[etiquette] {\red $0,90$};
			\draw[fleche] (Ra.east)--(Rab.west) node[etiquette] {\red $0,10$};
			\draw[fleche] (R.east)--(Rb.west) node[etiquette] {\red $0,15$};
			\draw[fleche] (Rb.east)--(Rba.west) node[etiquette] {\red $0,80$};
			\draw[fleche] (Rb.east)--(Rbb.west) node[etiquette] {\red $0,20$};
			\draw[fleche] (R.east)--(Rc.west) node[etiquette] {\red $0,60$};
			\draw[fleche] (Rc.east)--(Rca.west) node[etiquette] {\red $0,85$};
			\draw[fleche] (Rc.east)--(Rcb.west) node[etiquette] {\red $0,15$};
		\end{tikzpicture}\hskip 1cm ~
	
	\vskip -2cm ~
	
	\item Probabilité que la connexion soit stable et passe par le serveur B.
	
	{\red $p(B\cap S) = 0,15\times 0,80 = 0,12$ soit 12\%}
	
	\item Probabilité $P\left(C \cap \overline{S}\right)$ et interprétation.
	
	{\red $p\left(C \cap \overline{S}\right) = 0,6\times 0,15 = 0,09$. Il y a 9\% de chance que la connexion passe par $C$ et soit instable.}
	
	\item Démontrer que la probabilité de l'évènement $S$ est $P(S) = 0,855$.
	
	{\red D'après la formule des probabilités totales : 
		
		\qquad $p(S) = p(A\cap S)+p(B\cap S)+p(C\cap S) = 0,25\times 0,9+0,12+0,6\times 0,85 =0,855$.}
	
	\item On suppose désormais que la connexion est stable. Calcul de $p_S(B)$
	
	{\red $p_S(B) = \frac{p(B\cap S)}{p(S)} = \dfrac{0,12}{0,855}\approx 0,14$ soit environ 14\%}
\end{enumerate}	

\end{document} 