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\setdefaultenum {1.}{a)}{}{}
\hyphenpenalty 10000 % empèche la coupure de mots
\renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}} %centrage vertical des cellules d'un tableau tabularx

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	{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{i},~\vect{j}\right)$}
\def\ds{\displaystyle }
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% ########################### MES PARAMETRES ##############################################################
\def\monnumero{ 3 }
\def\madate{ Décembre 2025}
% ########################### MES PARAMETRES ##############################################################

% en-tete
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée Schuman Perret\\ \madate}}} %gauche
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{Corrigé du contrôle No\monnumero}}}}} %centre
\rhead{\footnotesize{\textsf{1\textsuperscript{ère}}}}%droit
%pied de page
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~1~sur~1}}}
\lfoot{\scriptsize{\textsf{\textsc{Stéphane Le Méteil }}}}

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\newcommand{\exo}{\bigskip  \stepcounter{nexo} \vskip 0.3cm \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\small{EXERCICE~\arabic{nexo}}}}}}}\quad}

\newcommand{\euros}{\euro~}
\newcommand{\Exo}[1]{\par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\small{EXERCICE #1}} }}}}}


\begin{document}\everymath{\displaystyle}

\exo 

$T$: « L'élève se rend au lycée à trottinette»

$A$: « l'élève se rend au lycée en tram»

$R$: « L’élève arrive en retard au lycée».



\begin{enumerate}
	
	\item Arbre de probabilités en fonction de la situation.
	
	\hfil\begin{minipage}{0.4\linewidth}%une minipage pour le premier arbre
		% Créé avec PST+ et modifié à la main
		\psset{nodesep=1mm,levelsep=30mm,treesep=10mm}
		\pstree[treemode=R]{\Tr{$\Omega$}}
		{\pstree[ref=c]
			{\Tr{$T$}\naput{\small $0,7$}}
			{\Tr{$R$}\naput{\small $0,006$}
				\Tr{$\bar{R}$}\nbput{\small $0,994$}}
			\pstree[ref=c]
			{\Tr{$A$}\nbput{\small $0,3$}}
			{\Tr{$R$}\naput{\small $0,05$}
				\Tr{$\bar{R}$}\nbput{\small $0,95$}}
		}
	\end{minipage}
	

	\item On a $p(T\cap R) = 0,006\times 0,7 = 0,0042$.
	
	\item D'après la formule des probabilités totales, on a :
	
	\hfil $p(R) = p(T\cap R) + p(A\cap R) = 0,0042 + 0,6\times 0,05 = 0,0192$
	
	\item La probabilité qu'il ait pris le tram sachant qu'il est en retard est : $$p_R(A) = \dfrac{p(A\cap R)}{p(R)} = \dfrac{0,0015}{0,0192} = 0,78$$
\end{enumerate}

\exo 

\begin{enumerate}

\item Sachant que l'on déduit le prix de la partie de la somme gagnée, la loi de probabilité de G est : 

\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
$$\begin{tabular}{c|*{3}{c|}c}
	(G=k)&20&0&-5&total\\\hline
	p(G=k)	&0,1&0,4&0,5&1\\
\end{tabular}$$


\item \'Equité ?

Calculons l'espérance du gain, on a: $E(G) = 20\times 0,1+0\times 0,4+(-5)\times 0,5 = -0,5$

Puisque $E(G)\neq0$, le jeu n'est pas équitable. Puisque $E(G)<0$, le jeu est favorable à l'organisateur.

\item Pour que le jeu devienne équitable, on pose $x$ le gain pour le 6 et on cherche la valeur de $x$ pour que cette fois $E(G) = 0$

Cela donne : $E(G) = x\times 0,1+0-2,5 = 0$ donc $0,1x = 2,5$ donc $x=25$

Il faudrait que le joueur gagne 30 euros et non 25 pour que le jeu devienne équitable.

\end{enumerate}
	
\exo On choisit au hasard un client du musée. On considère les évènements suivants : 

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
	\item[$\bullet~~$]$A$ : \og Le client choisit une visite avec un audioguide \fg{} ; 
	\item[$\bullet~~$]$B$ : \og Le client achète son billet sur internet avant sa visite \fg. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
	\item Arbre représentant la situation : 
	
		\hfil\begin{minipage}{0.4\linewidth}%une minipage pour le premier arbre
		% Créé avec PST+ et modifié à la main
		\psset{nodesep=1mm,levelsep=30mm,treesep=10mm}
		\pstree[treemode=R]{\Tr{$\Omega$}}
		{\pstree[ref=c]
			{\Tr{$B$}\naput{\small $0,7$}}
			{\Tr{$A$}\naput{\small $0,35$}
				\Tr{$\bar{A}$}\nbput{\small $0,65$}}
			\pstree[ref=c]
			{\Tr{$\bar{B}$}\nbput{\small $0,3$}}
			{\Tr{$A$}\naput{\small $0,55$}
				\Tr{$\bar{A}$}\nbput{\small $0,45$}}
		}
	\end{minipage}
	
	\item La probabilité que le client choisisse une visite avec un audioguide est égale à $p(A) = p(A\cap B) + p(A\cap \bar{B}) = 0,7\times 0,35+0,3\times 0,55 = 0,41$. 
	
	\item Sachant que le client visite le musée avec un audioguide, la probabilité qu'il ait acheté un billet son internet est $p_A(B) = \dfrac{p(A\cap B)}{p(A)} = \dfrac{0,245}{0,41}\approx 0,597>0,500$
	
	Comme plus de la moitié d'entre eux ont acheté leur billet sur internet, le directeur proposera à l'avenir la location de l'audioguide sur le site internet du musée. 
	
	
\end{enumerate}
	
	
\exo ~[Bonus] Soit $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = x^2+4x-5$

\begin{enumerate}

\item Résoudre $f(x)=0$

On a $\Delta = 4^2-4\times 1\times (-5) = 16+20 = 36>0$, ona $\sqrt{\Delta} = 6$

il y a alors deux solutions $x_1 = \dfrac{-4-6}{2\times 1} = -5$ et $x_2 = \dfrac{-4+6}{2\times 1} = 1$

\item Factoriser $f(x)$

D'après ce qui précède $P(x) = 1\Big(x-(-5)\Big)\Big(x-1\Big) =(x+5)(x-1)$

\item Résoudre $f(x)>0$

\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
	\tkzTabInit[lgt=3]{$x$ / 1 , $(x+5)$ / 1, $(x-1)$/1,$P(x)$/1}{$-\infty$, $-5$, $1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,-, z, +,t,+, }
	\tkzTabLine{,-, t, -,z,+, }
	\tkzTabLine{,+, z, -,z,+, }
\end{tikzpicture}

 donc $P(x) >0$ ssi $x\in]-\infty;-5[\cup]1;+\infty[$
\end{enumerate}

\end{document} 