\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage{amsmath,amssymb}
%\usepackage{txfonts}
\usepackage[left=2cm,right=2cm,top=2cm,bottom=2.5cm]{geometry}
\usepackage{fancyhdr}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{26pt}
\setlength{\footskip}{18pt}
\renewcommand {\headrulewidth}{0pt}
\renewcommand {\footrulewidth}{0pt}
\usepackage{lastpage}
\pagestyle{fancy}
\usepackage {array}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{pstricks}
\usepackage{tikz,tkz-tab}
\usepackage{setspace}
\usepackage{dsfont}
\usepackage[np]{numprint}
\usepackage{graphicx}
\usepackage [alwaysadjust]{paralist}
\usepackage{multicol}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{eurosym}
\usepackage{spreadtab} % pour une tabulation automatique
%\usepackage{enumitem} % pour des puces différentes dans des listes
\usepackage{enumerate}
\frenchbsetup{StandardLists=true} % pour des points au lieu des tirets pour les listes par défaut

\setdefaultenum {1.}{a)}{}{}
\hyphenpenalty 10000 % empèche la coupure de mots
\renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}} %centrage vertical des cellules d'un tableau tabularx

\newcommand{\R}{\mathds {R}}
\newcommand{\N}{\mathds {N}}
\newcommand{\Z}{\mathds {Z}}
\newcommand{\Q}{\mathds {Q}}
\newcommand{\C}{\mathds {C}}

\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
	{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
	{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
	{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
	{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}

\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}

\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{i},~\vect{j}\right)$}
\def\ds{\displaystyle }
\def\tvi{\vrule height 15pt depth 10pt width 0pt }

\DecimalMathComma

% ########################### MES PARAMETRES ##############################################################
\def\monnumero{ 2 }
\def\madate{ Novembre 2025}
% ########################### MES PARAMETRES ##############################################################

% en-tete
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée Schuman Perret\\ \madate}}} %gauche
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{Corrigé du contrôle No\monnumero}}}}} %centre
\rhead{\footnotesize{\textsf{1\textsuperscript{ère}}}}%droit
%pied de page
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~1~sur~1}}}
\lfoot{\scriptsize{\textsf{\textsc{Stéphane Le Méteil }}}}

\setlength{\columnseprule}{0.5pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}
\setlength{\parindent}{0mm}

\newcounter{nexo}\setcounter{nexo}{0}
\newcommand{\exo}{\stepcounter{nexo} \vskip 0.3cm \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\small{EXERCICE~\arabic{nexo}}}}}}}\quad}

\newcommand{\euros}{\euro~}
\newcommand{\Exo}[1]{\par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\small{EXERCICE #1}} }}}}}


\begin{document}
	%\everymath{\displaystyle}
	\doublespacing
	
	 \pagenumbering{gobble}
	
	\exo  [3pts] Développer les expressions suivantes : 
	
	$A(x) = (x-3)\times (x+1) {\red = x^2+x-3x-3 = x^2-2x-3}$
	
	$B(x) = (3x+4)^2 {\red = (3x)^2+2\times 3x\times 4+4^2 = 9x^2+24x+16}$
	
	\exo  [3pts] \'Ecrire les formes canoniques \medskip
	
	
	$f(x) = x^2+3x+1 {\red = (x+1,5)^2-1,5^2+1 = (x+1,5)^2-2,25+1 = (x+1,5)^2-1,25}$
		
	$g(x) = 2x^2+12x-6 {\red = 2(x^2+6x-3) = 2\Big((x+3)^2-9-3\Big) = 2\Big((x+3)^2-12\Big) = 2(x+3)^2-24}$
		
	\exo  [3pts] Factoriser les expressions suivantes : \bigskip
	
	\begin{minipage}{0.45\linewidth}
		$f(x) = 3x^2-5x+2$
		
		{\red On a : 
			
		$\Delta = (-5)^2-4\times 3\times 2 = 25-24 = 1>0$
		
		On trouve lors deux racines :
		
		$x_1 = \dfrac{-(-5)-\sqrt{1}}{2\times 3} = \dfrac{5-1}{6} = \dfrac23$
		
		et
		
		$x_2 = \dfrac{-(-5)+\sqrt{1}}{2\times 3} = \dfrac{5+1}{6} = 1$
		
		la factorisation est alors 
		
		$f(x) = 3(x-\frac23)(x-1)$}
		
		\end{minipage}\quad\vrule\quad
	\begin{minipage}{0.4\linewidth}
		$g(x) = 9x^2-1$
		
		{\red On peut utiliser la même méthode ou voir l'identité remarquable : 
		
		\hfil $a^2-b^2 = (a+b)\times (a-b)$
		
		et alors
		
		$g(x) = 9x^2-1$
		
		\qquad $ = (3x)^2-1^2$
		
		\qquad $ = (3x-1)(3x+1)$	}
	\end{minipage}\medskip
	
	
	\exo  [5pts] Résoudre les équations suivantes : 
	
	
	$(E_1)\quad x^2+5x-6 = 0$ 
	
	{\red On a : $\Delta= 25+24 = 49 = 7^2>0$ On trouve alors deux solutions :
	
	$x_1 = \dfrac{-5-7}{2\times 1} = \dfrac{-12}{2} = -6$\quad 	et\quad  $x_2 = \dfrac{-5+7}{2\times 1} = \dfrac{2}{2} = 1$
	
	Les solutions sont $-6$ et 1}
	
	 $(E_2)\quad 4x^2+4x+1=0$   
	 
	 {\red On a : $\Delta= 16-16 = 0$ On trouve alors une seule solution :  $x_0 = \dfrac{-4}{2\times 4} = \dfrac{-4}{8}=-\dfrac12$
	 	
	 	La solution est $-\frac12$ }
	 
	 
	 $(E_3)\quad 4x^2+10x = 6$
	
	{\red On commence par écrire : $4x^2+10x - 6=0 $ puis on a : $\Delta= 100+96 = 196 = 14^2>0$ On trouve alors deux solutions :
		
		$x_1 = \dfrac{-10-14}{2\times 4} = \dfrac{-24}{8} = -3$\quad 	et\quad  $x_2 = \dfrac{-10+14}{2\times 4} = \dfrac{1}{2}$.\quad Les solutions sont $-3$ et $\frac12$}
	
	
	\goodbreak\exo  [3pts] Déterminer le tableau de signe de la fonction définie sur $\R$ par : 
	
	 $f(x) = x^2-4x+3$ puis résoudre l'inéquation $f(x)>0$
	
	{\red On a : $\Delta = (-4)^2-4\times 1\times 3 = 16-12 = 4>0$
	
	On trouve lors deux racines : $x_1 = \dfrac{-(-4)-\sqrt{4}}{2\times 1} = \dfrac{4-2}{2} = 1$
	 et $x_2 = \dfrac{-(-4)+\sqrt{4}}{2\times 1} = \dfrac{4+2}{2} = 3$
	
	la factorisation est alors : $f(x) = 1(x-1)(x-3) = (x-1)(x-3)$
	
	On peut alors construire le tableau de signe suivant : \medskip
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
		\tkzTabInit{$x$/1,$x-1$/1,$x-3$/1,$f(x)$/1.5}{$-\infty$,$1$,$3$,$+\infty$}
		\tkzTabLine{ ,-,z,+,t,+}
		\tkzTabLine{ ,-,t,-,z,+}
		\tkzTabLine{ ,+,z,-,z,+}
	\end{tikzpicture}
	
	On lit alors que les solutions de l'inéquation $f(x)>0$ sont les éléments 
	
	de l'ensemble $]-\infty;1[~\cup~]3;+\infty[$
}

	\exo [3pts] \begin{enumerate}
		\item Montrer que $(x+2)\times (x^2-5x+6) = x^3-3x^2-4x+12$
		
			{\red $(x+2)\times (x^2-5x+6) = x^3-5x^2+6x+2x^2-10x+12 = x^3-3x^2-4x+12$}
		
		\item En déduire les solutions de  $x^3-3x^2-4x+12=0$
		
		{\red  $x^3-3x^2-4x+12=0$ équivaut donc à $(x+2)\times (x^2-5x+6) = 0$
			
			or une produit de facteurs est nuls lorsque l'un de ses facteurs est nuls
			
			donc  $(x+2)\times (x^2-5x+6) = 0$ équivaut à $x=-2$ ou $x^2-5x+6 = 0$
			
			Résolvons  $x^2-5x+6 = 0$
			
			On a $\Delta = 25-24=1$, donc il y a deux racines $x_1 = \dfrac{5-1}{2} = 2$ et $x_2=\dfrac{5+1}{2} = 3$
			
			Finalement les solutions de l'équation $x^3-3x^2-4x+12=0$ sont $-2,\quad 2$ et $3$ 
			
		}
		
		\item Résoudre $x^3-3x^2-4x+12 = 12$
		
		{\red On a : $x^3-3x^2-4x = 0$ puis $x\times(x^2-3x-4)=0$ donc $x=0$ ou $x^2-3x-4=0$
		
		$\Delta= 9+16=25$ donc $x_1=\dfrac{3-5}{2} = -1$ et $x_2 = \dfrac{3+5}{2} = 4$
		
		Finalement on trouve trois solutions : $-1$, $0$ et $4$
		
		}
		
	\end{enumerate}


% &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
 \newpage\pagenumbering{gobble}\setcounter{nexo}{0}

\begin{center}La qualité de la présentation et la rédaction seront prises en compte lors de l'évaluation de la copie.\end{center}

%développements

\exo  [3pts] \'Ecrire les formes canoniques \bigskip


$f(x) = 2x^2+12x-8 {\red = 2(x^2+6x-4) = 2\Big((x+3)^2-9-4\Big) = 2\Big((x+3)^2-13\Big) = 2(x+3)^2-26}$

$g(x) = x^2+3x+1 {\red = (x+1,5)^2-1,5^2+1 = (x+1,5)^2-2,25+1 = (x+1,5)^2-1,25}$


\exo  [3pts] Factoriser les expressions suivantes : \medskip

\begin{minipage}{0.45\linewidth}
	$f(x) = 3x^2+5x+2$
	
	{\red On a : 
		
		$\Delta = 5^2-4\times 3\times 2 = 25-24 = 1>0$
		
		On trouve lors deux racines :
		
		$x_1 = \dfrac{-5-\sqrt{1}}{2\times 3} = \dfrac{-5-1}{6} = -1$
		
		et
		
		$x_2 = \dfrac{-5+\sqrt{1}}{2\times 3} = \dfrac{-5+1}{6} = -\dfrac23$
		
		la factorisation est alors 
		
		$f(x) = 3(x+\frac23)(x+1)$}
	
\end{minipage}\quad\vrule\quad
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
	$g(x) = 9x^2-16$
	
	{\red On peut utiliser la même méthode ou voir l'identité remarquable : 
		
		\hfil $a^2-b^2 = (a+b)\times (a-b)$
		
		et alors
		
		$g(x) = 9x^2-16$
		
		\qquad $ = (3x)^2-4^2$
		
		\qquad $ = (3x-4)(3x+4)$	}
\end{minipage}\medskip

\exo  [3pts] Développer les expressions suivantes : 

$A(x) = (x+3)\times (x-1) {\red = x^2-x+3x-3 = x^2+2x-3}$

$B(x) = (3x-4)^2 {\red = (3x)^2-2\times 3x\times 4+4^2 = 9x^2-24x+16}$


\exo  [3pts] Déterminer le tableau de signe de la fonction définie sur $\R$ par :  

$f(x) = x^2-5x+6$ puis résoudre l'inéquation $f(x)>0$


	{\red On a : $\Delta = (-5)^2-4\times 1\times 6 = 25-24 = 1>0$
	
	On trouve lors deux racines : $x_1 = \dfrac{-(-5)-\sqrt{1}}{2\times 1} = \dfrac{5-1}{2} = 2$
	et $x_2 = \dfrac{-(-5)+\sqrt{1}}{2\times 1} = \dfrac{5+1}{2} = 3$
	
	la factorisation est alors : $f(x) = 1(x-2)(x-3) = (x-2)(x-3)$
	
	On peut alors construire le tableau de signe suivant : \medskip
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
		\tkzTabInit{$x$/1,$x-2$/1,$x-3$/1,$f(x)$/1.5}{$-\infty$,$2$,$3$,$+\infty$}
		\tkzTabLine{ ,-,z,+,t,+}
		\tkzTabLine{ ,-,t,-,z,+}
		\tkzTabLine{ ,+,z,-,z,+}
	\end{tikzpicture}
	
	On lit alors que les solutions de l'inéquation $f(x)>0$ sont les éléments 
	
	de l'ensemble $]-\infty;2[~\cup~]3;+\infty[$
}

\exo  [5pts] Résoudre les équations suivantes :


$(E_1)\quad x^2+3x-10 = 0$ 

{\red On a : $\Delta= 9+40 = 49 = 7^2>0$ On trouve alors deux solutions :
	
	$x_1 = \dfrac{-3-7}{2\times 1} = \dfrac{-10}{2} = -5$\quad 	et\quad  $x_2 = \dfrac{-3+7}{2\times 1} = \dfrac{4}{2} = 2$
	 \quad Les solutions sont $-5$ et 2}

$(E_2)\quad x^2-4x+4=0$   

{\red On a : $\Delta= 16-16 = 0$ On trouve alors une seule solution :  $x_0 = \dfrac{4}{2\times 1} = \dfrac{4}{2}=2$}


$(E_3)\quad 4x^2-6 = 10x$

{\red On commence par écrire : $4x^2-10x - 6=0 $ puis on a : $\Delta= 100+96 = 196 = 14^2>0$ On trouve alors deux solutions :
	
	$x_1 = \dfrac{10-14}{2\times 4} = \dfrac{-4}{8} = -\dfrac12$\quad 	et\quad  $x_2 = \dfrac{10+14}{2\times 4} = 3$.\quad Les solutions sont $-\frac12$ et $3$}


\exo [3pts] \begin{enumerate}
	\item Montrer que $(x-2)\times (x^2+5x+6) = x^3+3x^2-4x-12$
	
	{\red $(x-2)\times (x^2+5x+6) = x^3+5x^2+6x-2x^2-10x-12 = x^3+3x^2-4x-12$}
	
	\item En déduire les solutions de  $x^3+3x^2-4x-12=0$
	
	{\red  $x^3+3x^2-4x-12=0$ équivaut donc à $(x-2)\times (x^2+5x+6) = 0$
	
	or une produit de facteurs est nuls lorsque l'un de ses facteurs est nuls
	
	donc  $(x-2)\times (x^2+5x+6) = 0$ équivaut à $x-2=0$ ou $x^2+5x+6 = 0$
	
	Résolvons  $x^2+5x+6 = 0$
	
	On a $\Delta = 25-24=1$, donc il y a deux racines $x_1 = \dfrac{-5-1}{2} = -3$ et $x_2=\dfrac{-5+1}{2} = -2$
	
	Finalement les solutions de l'équation $x^3+3x^2-4x-12=0$ sont $-3,\quad -2$ et $x=2$ 
	
	}
	
	\item Résoudre $x^3+3x^2-4x-12 = -12$
	
	{\red On a : $x^3+3x^2-4x = 0$ puis $x\times(x^2+3x-4)=0$ donc $x=0$ ou $x^2+3x-4=0$
		
		$\Delta= 9+16=25$ donc $x_1=\dfrac{-3-5}{2} = -4$ et $x_2 = \dfrac{-3+5}{2} = 1$
		
		Finalement on trouve trois solutions : $-4$, $0$ et $1$
		
	}
	
\end{enumerate}
	
\end{document} 