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\setdefaultenum {1.}{a)}{}{}
\hyphenpenalty 10000 % empèche la coupure de mots
\renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}} %centrage vertical des cellules d'un tableau tabularx

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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{i},~\vect{j}\right)$}
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% ########################### MES PARAMETRES ##############################################################
\def\monnumero{ 1 }
\def\madate{ Septembre 2025}
% ########################### MES PARAMETRES ##############################################################

% en-tete
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée Schuman Perret\\ \madate}}} %gauche
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{Contrôle No \monnumero}}}}} %centre
\rhead{\footnotesize{\textsf{1\textsuperscript{ère}}}}%droit
%pied de page
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}}
\lfoot{\scriptsize{\textsf{\textsc{Stéphane Le Méteil }}}}

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\newcommand{\exo}{\bigskip  \stepcounter{nexo} \vskip 0.3cm \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\small{EXERCICE~\arabic{nexo}}}}}}}\quad}

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\newcommand{\Exo}[1]{\par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\small{EXERCICE #1}} }}}}}

\begin{document}\everymath{\displaystyle}

\exo [3pts] \'Ecrire sous forme canonique les fonctions suivantes : \bigskip

\hfil $P(x) = x^2+6x+2$\qquad $Q(x) = x^2-3x+1$\qquad $R(x) = 2x^2+8x+16$


\exo [4pts] 	Pour tout $n\in\N$, on donne : $U_n = 5n+4$

\begin{enumerate}
	\item Calculer $U_0$,\quad $U_1$,\quad $U_2$,\quad $U_3$.
	\item Exprimer $U_{n+1}$ en fonction de $n$
	\item En déduire que $U_{n+1}-U_n = 5$
	\item A quelle famille appartient cette suite $(U_n)$ ? Quelle est sa raison ?
\end{enumerate}

\exo [2pts] 	Pour tout $n\in\N$, on donne : $U_{n+1} = 2U_n+4$ et $U_0=3$

\begin{enumerate}
	\item Calculer $U_1$,\quad $U_2$,\quad $U_3$.
	\item Pourquoi cette suite n'est-elle pas arithmétique ?
	\item Pourquoi cette suite n'est-elle pas géométrique ?
\end{enumerate}

\exo [3pts] Sachant que $U$ est arithmétique, que $U_5 = 45$ et que $U_{10} = 125$, 

\begin{enumerate}
	\item Calculer $R$ puis $U_0$ puis $U_{32}$ 
	\item En déduire $S=U_0+\cdots+U_{32}$
\end{enumerate}

\exo[4pts] Une voiture valant initialement 15000\euro~ voit sa valeur diminuer de $20\%$ tous les ans.
On note $U_0 = 15000$ et $U_n$ sa valeur après $n$ années.

\begin{enumerate}
	\item Calculer sa valeur après 1 an, après 2 ans.
	 
	 On admet alors que $U_n$ vérifie pour tout $n\in\N$, $U_{n+1} = 0,8\times U_n$.
	 
	\item En déduire la définition directe de la suite $U$.
	\item Calculer alors $U_{10}$, $U_{15}$ et $U_{20}$.
	\item  Cette modélisation est-elle crédible ?
\end{enumerate}

\eject

\exo [4pts] 	\bigskip

\begin{list}{\textbullet}{Au 1\ier{} janvier 2025, un arboriculteur possède \np{5000} pommiers. Chaque année:}
	\item il arrache $4\,\%$ des pommiers car ils sont endommagés;
	\item il replante $300$ nouveaux pommiers.
\end{list}

On modélise la situation par une suite $(u_n)$ où, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ représente le nombre de pommiers possédés par l'arboriculteur au 1\ier{} janvier de l'année $(2025 + n)$.\index{suite}

\smallskip

On obtient ainsi une suite $(u_n)$ telle que: $u_0 = \np{5000}$ et $u_{n+1} = 0,96u_n + 300$, pour tout entier naturel $n$.

\begin{enumerate}
	\item Calculer $u_1$ et $u_2$.
	
	Combien de pommiers possèdera l'arboriculteur au 1\ier{} janvier 2026 ?
	
	\item  On définit la suite $\left(v_n\right)$ par $v_n = u_n - \np{7500}$, pour tout entier naturel $n$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $v_{n+1} = 0,96v_n$ En déduire la famille a laquelle appartient la suite $(v_n)$. On précisera la raison et le premier terme $v_0$.
		\item  Donner la définition directe de la suite $(v_n)$.
		\item  En déduire que, pour tout entier naturel $n$: $u_n = \np{7500} - \np{2500} \times  0,96^n$.
	\end{enumerate}
	\item ~[BONUS] La superficie des terrains de l'arboriculteur lui permet d'avoir au maximum \np{6000} pommiers. L'arboriculteur voudrait savoir en quelle année il devra acquérir un autre terrain pour pouvoir planter de nouveaux pommiers.
	
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'année.
		\item  Si l'évolution se poursuit toujours selon ce modèle, vers quelle valeur va tendre à terme le nombre de pommiers de cet arboriculteur? Justifier la réponse.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{document} 
