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% ########################### MES PARAMETRES ##############################################################
\def\monnumero{ 1 }
\def\madate{ Septembre 2025}
% ########################### MES PARAMETRES ##############################################################

% en-tete
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée Schuman Perret\\ \madate}}} %gauche
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{Contrôle No \monnumero}}}}} %centre
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%pied de page
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}}
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\newcommand{\Exo}[1]{\par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\small{EXERCICE #1}} }}}}}
\newcommand{\euros}{\;\euro~}

\begin{document}\everymath{\displaystyle}\onehalfspacing

\exo [3pts] \'Ecrire sous forme canonique les fonctions suivantes : \bigskip

\hfil $P(x) = x^2+6x+2$\qquad $Q(x) = x^2-3x+1$\qquad $R(x) = 2x^2+8x+16$\\

{\red $P(x) = (x+3)^2-3^2+2 = (x+3)^2-9+2 = (x+3)^2-7$\\
	
	$Q(x) = (x-1,5)^2-1,5^2+1 = (x-1,5)^2-2,25+1 = (x-1,5)^2-1,25$ \\
	
	$R(x) = 2\Big(x^2+4x+8\Big) = 2\Big((x+2)^2-4+8\Big)=2\Big((x+2)^2+4\Big) = 2(x+2)^2+8$}
	
% #########################################################################################################
\exo [4pts] 	Pour tout $n\in\N$, on donne : $U_n = 5n+4$

\begin{enumerate}
	\item Calculer $U_0$,\quad $U_1$,\quad $U_2$,\quad $U_3$.
	
	{\red $U_0 = 5\times 0 + 4 = 4$ \quad $U_1 = 5\times 1 + 4 = 9$ \quad $U_2 = 5\times 2 + 4 = 14$ \quad $U_3 = 5\times 3 + 4 = 19$.}
	
	\item Exprimer $U_{n+1}$ en fonction de $n$
	
	{\red $U_{n+1} = 5\times (n+1)+4 = 5n+5+4 = 5n+9$}
	
	\item En déduire que $U_{n+1}-U_n = 5$
	
	{\red $U_{n+1}-U_n = (5n+9)-(5n+4) = 5n+9-5n-4 = 5$.}
	
	\item A quelle famille appartient cette suite $(U_n)$ ? Quelle est sa raison ?
	
	{\red Puisque pour tout $n\in\N$, on a $U_{n+1}-U_n = 5$, la suite $U$ est arithmétique de raison $R=5$.}
\end{enumerate}

% #########################################################################################################
\exo [2pts] 	Pour tout $n\in\N$, on donne : $U_{n+1} = 2U_n+4$ et $U_0=3$

\begin{enumerate}
	\item Calculer $U_1$,\quad $U_2$,\quad $U_3$.
	
	{\red $U_1 = 2U_0+4 = 2\times 3+4 = 6+4 = 10$ \qquad puis $U_2 = 2U_1+4 = 2\times 10+4 = 24$ 
		
		et enfin $U_3= 2 U_2+4 = 2\times 24+ 4= 52$}
	
	\item Pourquoi cette suite n'est-elle pas arithmétique ?
	
	{\red $U_1-U_0=10-3 =7$ mais $U_2-U_1 = 24-10=14$ donc on ne passe pas d'un terme au suivant en ajoutant toujours la même quantité, la suite n'est pas arithmétique.}
	
	\item Pourquoi cette suite n'est-elle pas géométrique ?
	
	{\red $\dfrac{U_1}{U_0}=\dfrac{10}{3}\approx 3,3$ mais $\dfrac{U_2}{U_1} = \dfrac{24}{10}=2,4$ donc on ne passe pas d'un terme au suivant en multipliant toujours par la même quantité, la suite n'est pas géométrique.}
	
\end{enumerate}

\goodbreak

% #########################################################################################################
\exo [3pts] Sachant que $U$ est arithmétique, que $U_5 = 45$ et que $U_{10} = 125$, 

\begin{enumerate}
	\item Calculer $R$ puis $U_0$ puis $U_{32}$ 
	
	{\red $U_{10} = 125 = U_0+10R$ et $U_5 = 45 = U_0 + 5R$ donc par différence $80 = 5R$ donc $R = 16$
		
		Puis $U_5 = 45 = U_0 + 5R$ donc $45 -5R = U_0 $ donc $U_0 = -35$
		
		donc $U_{32} = -35+32\times 16 = 477$
		
		}
	
	\item En déduire $S=U_0+\cdots+U_{32}$
	
	{\red $S=U_0+\cdots+U_{32} = \dfrac{U_0+U_{32}}{2}\times 33$ en effet de 0 à 32 il y a 33 termes
	
	donc $S = 7293$}
	
\end{enumerate}

\exo[4pts] Une voiture valant initialement 15000\euro~ voit sa valeur diminuer de $20\%$ tous les ans.
On note $U_0 = 15000$ et $U_n$ sa valeur après $n$ années.

\begin{enumerate}
	\item Calculer sa valeur après 1 an, après 2 ans.
	
	{\red Réduire de $20\%$ c'est multiplier par $\left(1-\frac{20}{100}\right)$ c'est à dire par $0,8$
		
		donc $U_1=0,8\times U_0 = 0,8\times 15000 = 12000$ la voiture vaut 12000\euros la 1ère année
		
		puis $U_2=0,8\times U_1 = 0,8\times 12000 = 9600$ la voiture vaut 9600\euros la 2ème année.}
	
	On admet alors que $U_n$ vérifie pour tout $n\in\N$, $U_{n+1} = 0,8\times U_n$.
	
	\item En déduire la définition directe de la suite $U$.
	
	{\red La définition directe de la suite $U$ est alors $U_n = U_0\times q^n = 15000\times 0,8^n$}
	
	\item Calculer alors $U_{10}$, $U_{15}$ et $U_{20}$.
	
	{\red On peut alors calculer $U_{10} =  15000\times 0,8^{10} \approx1610,61$
		
		 $U_{15} =  15000\times 0,8^{15} \approx527,77$\quad et\quad $U_{20} =  15000\times 0,8^{20} \approx172,94$}
		 
		 
	
	\item  Cette modélisation est-elle crédible ?
	
	{\red Cette simulation n'est pas très crédible car le prix devient bien trop faible même pour une vieille voiture de 20 ans.}
\end{enumerate}

\newpage% ##########################################################################################################

\exo [4pts] 	\bigskip

\begin{list}{\textbullet}{Au 1\ier{} janvier 2025, un arboriculteur possède \np{5000} pommiers. Chaque année:}
	\item il arrache $4\,\%$ des pommiers car ils sont endommagés;
	\item il replante $300$ nouveaux pommiers.
\end{list}

On modélise la situation par une suite $(u_n)$ où, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ représente le nombre de pommiers possédés par l'arboriculteur au 1\ier{} janvier de l'année $(2025 + n)$.\index{suite}

\smallskip

On obtient ainsi une suite $(u_n)$ telle que: $u_0 = \np{5000}$ et $u_{n+1} = 0,96u_n + 300$, pour tout entier naturel $n$.

\begin{enumerate}
	\item Calculer $u_1$ et $u_2$.
	
	{\red $u_1=0,96U_0+300 = 0,96\times 5000+300 = 5100$ puis $u_2=0,96u_1+300 = 5196$}
	
	Combien de pommiers possèdera l'arboriculteur au 1\ier{} janvier 2026 ?
	
	{\red Le 1\ier{} janvier 2026, il aura $u_1 = 5100$ arbres.}
	
	\item  On définit la suite $\left(v_n\right)$ par $v_n = u_n - \np{7500}$, pour tout entier naturel $n$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $v_{n+1} = 0,96v_n$ En déduire la famille a laquelle appartient la suite $(v_n)$. On précisera la raison et le premier terme $v_0$.
		
		{\red Pour tout $n\in\N$, on a : 
			
		    \hskip 2.3cm $v_{n+1} = u_{n+1} - \np{7500}$
			
			\hskip 3.2cm $ = 0,96u_n + 300-7500$
			
			\hskip 3.2cm $ = 0,96u_n -7200$
			
			\hskip 3.2cm $ = 0,96(v_n+7500)-7200$
			
			\hskip 3.2cm $ = 0,96v_n+7200-7200$
			
			\hskip 3.2cm $ = 0,96v_n$
			
			La suite $(v_n)$ est donc géométrique de raison $q=0,96$ etz $v_0 = v_0-7500 = -2500$}
		
		\item  Donner la définition directe de la suite $(v_n)$.
		
		{\red D'après ce qui précède, pour tout $n\in\N$, on a : 
			
			\hskip 3.2cm $v_n = v_0\times q^n = -2500\times 0,96^n$}
		
		\item  En déduire que, pour tout entier naturel $n$: $u_n = \np{7500} - \np{2500} \times  0,96^n$.
		
		{\red Puisque $v_n = u_n-7500$, on a $u_n = v_n+7500$ or $u_n=-2500\times 0,96^n$ 
			
			donc $u_n = \np{7500} - \np{2500} \times  0,96^n$}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}


\end{document} 
