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% ########################### MES PARAMETRES ##############################################################
\def\monnumero{6 }
\def\madate{ Avril 2026}
% ########################### MES PARAMETRES ##############################################################

\setdefaultenum {1.}{a)}{}{}
\hyphenpenalty 10000 % empèche la coupure de mots
\renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}} %centrage vertical des cellules dl'un tableau tabularx
\newcommand{\Oij}{$\left( {{\mathrm{O}};\vec i,\vec j} \right)$}

%\newcommand{\euro}{\texteuro{}}
\newcommand{\R}{\mathds {R}}
\newcommand{\N}{\mathds {N}}
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\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
	{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
	{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
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	{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{i},~\vect{j}\right)$}
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\DecimalMathComma
\def\abs#1{\left|#1\right|}
\def\ds{\displaystyle }

% en-tÃªte
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée Schuman Perret\\ \madate}}} %gauche
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{BAC BLANC}\\calculatrice non autorisée}}}} %centre
\rhead{\footnotesize{\textsf{1\textsuperscript{ère} Spé maths }}}%droit
%pied de page
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}}
\lfoot{ {\scriptsize{\textsf{\textsc{ }}}}}


\newcounter{nexo}           % déclaration du numéro dl'exo
\setcounter{nexo}{0}        % initialisation du numero

\newcommand{\exo}{\bigskip
	\stepcounter{nexo}
	\par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\small{EXERCICE \; \arabic{nexo}}}}}}}\quad}

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\def\deg{\!\textrm{\degre}\!}
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\begin{document}%\everymath{\displaystyle}

{\bf \Large Corrigé}

\vskip 0.2cm

\hfil{\Large Première partie}

\vskip 0.2cm\onehalfspacing

\begin{multicols}{3}
	\noindent
	1. ~ C \\  2. ~ A \\  3. ~ A \\  4. ~ B \vfill 
	5. ~ A \\  6. ~ C \\  7. ~ C \\  8. ~ C \vfill 
	9. ~ D \\ 10. ~ C \\ 11. ~ D \\ 12. ~ D  
\end{multicols}

\vskip 0.5cm

\hfil{\Large Seconde partie}

\exo Soit $f$ définie sur $\R$ par $f(x)  =(x^2-5x+7)e^x$.

\begin{enumerate}
	\item \underline{Etudier le signe de $x^2-5x+7$.}\hfill {\red 1pt}
	
	$x^2-5x+7$ a pour discriminant $\Delta = (-5)^2-4\times 1\times 7 = 25- 28 = -3<0$, ce trinôme garde donc un signe constant or pour $x=0$ il vaut 7 qui est strictement positif donc il sera toujours strictement positif.\bigskip
	
	\item \underline{En déduire celui de $f$. }\hfill {\red 0.5pt}
	
	Puisque pour tout $x\in\R$, on a :	$f(x)  =(x^2-5x+7)e^x$ et $x^2-5x+7>0$ et $e^x>0$
	
	Cela permet d'affirmer que pour tout $x\in\R$, $f(x)>0$\bigskip
	
	
	\item \underline{Que cela signifie-t-il graphiquement?}\hfill {\red 0.5pt}
	
	Graphiquement cela signifie que la courbe représentant $f$ reste au dessus de l'axe des abscisses. \bigskip
	
	\item \underline{Montrer que $f'(x)= (x^2-3x+2)e^x$.}\hfill {\red 1pt}
	
	$g$ est le produit de deux fonctions dérivables sur $\R$ donc $f$ est aussi dérivable sur $\R$ et pour tout $x\in\R$, $f'(x) = (2x-5)e^x + (x^2-5x+7)e^x = (2x-5+x^2-5x+7)e^x = (x^2-3x+2)e^x$\bigskip
	
	\item \underline{\'Etudier le signe de $f'$ et établir le tableau des variations de $f$.}\hfill {\red 1pt}
	
	Occupons nous du signe de $(x^2-3x+2)$, son discriminant est $\delta = 9-8 =1$, ses racines sont $x_1=\dfrac{-(-3)-1}{2} = \dfrac{3-1}{2} = \dfrac22 = 1$ et $x_2=\dfrac{-(-3)+1}{2} = \dfrac{3+1}{2} = \dfrac42 = 2$
	
	donc $(x^2-3x+2)=(x-1)(x-2)$
	
	On a donc, pour tout $x\in\R$,~ $f'(x) = (x-1)(x-2)e^x$
	
	
	On a alors la possibilité d'établir le tableau de signe de $f'$ puis des variations de $f$
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
		\tkzTabInit{$x$/1,$x-1$/1,$x-2$/1,$e^x$/1,$f'(x)$/1,$f(x)$/2}{$-\infty$, $1$,$2$,$+\infty$}
		\tkzTabLine{ ,-,z,+,t,+}
		\tkzTabLine{ ,-,t,-,z,+}
		\tkzTabLine{ ,+,t,+,t,+}
		\tkzTabLine{ ,+,z,-,z,+}
		\tkzTabVar{-/,+/$f(1)$,-/$f(2)$,+/}
	\end{tikzpicture}
	
	\item \underline{Montrer que $f$ admet un minimum local et en donner la valeur exacte.}\hfill {\red 0.5pt}
	
	$f$ est continue sur $\R$, 
	
	et strictement décroissante sur $[1;2]$ puis strictement croissante sur $[2;+\infty[$ 
	
	donc $f$ admet en $x=2$ un minimum local dont la valeur est 
	
	\qquad $f(2) = (2^2-5\times 2+11)e^2 = e^2$\bigskip
	
	\item \underline{Établir une équation de la tangente en 0 à la courbe représentant $f$.}\hfill {\red 1pt}
	
	Une équation de la tangente en 0 à la courbe représentant $f$ a pour forme :
	
	\hfil $y=f'(0)\times (x-0)+f(0)$
	
	or $f(0) = 7$ (énoncé) et $f'(0) = 2$ (question 4) donc $y=2x+7$
	
\end{enumerate}

\vskip 0.3cm

\exo  Un café propose des boissons chaudes et des boissons froides, qui peuvent être servies
en terrasse ou en salle.

On dispose des informations suivantes:

\begin{itemize}
	\item[\textbullet~] 60\,\% des consommations sont servies en terrasse.
	
	Dans un tiers des cas, il s'agit d'une boisson chaude.
	\item[\textbullet~] 40\,\% des consommations sont servies en salle.
	
	Parmi elles, les trois quarts sont des boissons chaudes.
\end{itemize}

On s'intéresse à une consommation choisie au hasard, et on considère les évènements
suivants:
\begin{description}
	\item[]$T$ : il s'agit d'une consommation servie en terrasse.
	\item[]$C$ : il s'agit d'une boisson chaude.
\end{description}

\newpage

\begin{enumerate}
	\item  \underline{Dresser un arbre pondéré représentant la situation.}\hfill {\red 1pt}\bigskip
	
	\psset{nodesep=1mm,levelsep=20mm,treesep=10mm}
		\hfil\pstree[treemode=R]{\Tr{$\Omega$}}
		{\pstree[ref=c]
			{\Tr{${\rm T}$}\naput{\small $60\%$}}
			{\Tr{${\rm C}$}\naput{\small $\frac{1}{3}$}
				\Tr{$\overline{\rm C}$}\nbput{\small $\frac{2}{3}$}}
			\pstree[ref=c]
			{\Tr{$\overline{\rm T}$}\tbput{\small $40\%$}}
			{\Tr{${\rm C}$}\taput{\small $\frac{3}{4}$}
				\Tr{$\overline{\rm C}$}\tbput{\small $\frac{1}{4}$}}
		}
	
	\bigskip
	
	\item \underline{Déterminer la probabilité $P(T\cap C)$.}\hfill {\red 0.5pt}
	
	On lit : $P(T\cap C) = 0,6\times\dfrac13 = 0,2$. Cela correspond à 20\%\bigskip
	
	\item \underline{Montrer que la probabilité que la consommation soit une boisson chaude est égale à $\frac{1}{2}$.}\hfill {\red 1pt}
	
	D'après la formule des probabilités totales, on a : $P(C) = P(T\cap C)+P(\overline{T}\cap C)$
	
	
	On a donc : $P(C) = 0,2+0,4\times \dfrac34 = 0,2+0,3 = 0,5=\dfrac12$\bigskip
	
	\item Une boisson chaude vient d'être commandée. Un serveur déclare :
	
	\og Elle a davantage de chance d'être servie en salle qu'en terrasse \fg.
	
	\underline{Le serveur a-t-il raison ? Justifier la réponse.}\hfill {\red 1pt}
	
	On calcule la probabilité que la boisson soit servie en salle sachant qu'elle est chaude : $P_C(\overline T) = \dfrac{P(C\cap \overline T)}{P(C)} = \dfrac{0,4\times \frac34}{0,5}  =\dfrac{0,3}{0,5} = 0,6$
	
	Il y a donc 60\% de chance qu'elle soit servie en salle donc plus de 50\% 
	
	donc le serveur a raison.\bigskip
	
	\item \underline{Les évènements $T$ et $C$ sont-ils indépendants ? Justifier.}\hfill {\red 1pt}
	
	$P(C\cap T) = 0,2$ et $P(C)\times P(T) = 0,5\times 0,6 = 0,3$ donc 	$P(C\cap C) \neq P(C)\times P(T)$ donc les évènements ne sont pas indépendants.
	
\end{enumerate}


\exo On considère la suite définie par $U_{n+1}=\dfrac13U_n+8$
et $U_0=3$
\begin{enumerate}
	\item \underline{Calculer les valeurs exactes des termes $U_1$ et $U_2$ de la suite.}\hfill {\red 1pt}
	
	On a : $U_{0+1}=\dfrac13U_0+8$ donc $U_1 = \dfrac13\times 3+8 = 1+8 = 9$
	
	$U_{1+1}=\dfrac13U_1+8$ donc $U_2 = \dfrac13\times 9+8 = 3+8 = 11$
	
	\item \underline{La suite est-elle arithmétique ?}\hfill {\red 0.5pt}
	
	On a : $U_1-U_0 = 9-3 = 6$ et $U_2-U_1 = 11-9=2$ donc $U_1-U_0 \neq U_2-U_1$ la suite n'est donc pas arithmétique.
	
	\item \underline{La suite est-elle géométrique ?}\hfill {\red 0.5pt}
	
	On a : $\dfrac{U_1}{U_0} = \dfrac93 = 3 $ et $\dfrac{U_2}{U_1} = \dfrac{11}{9}$ donc $\dfrac{U_1}{U_0} \neq\dfrac{U_2}{U_1}$ la suite n'est donc pas géométrique.
	
	\item On pose $V_n=U_n-12$
	\begin{enumerate}
		\item \underline{Montrer que la suite (Vn)	est géométrique. Préciser sa raison et son premier terme.}\hfill {\red 1pt}\\
		
		Pour tout $n\in\N$, on a : $V_{n+1} = U_{n+1}-12$\\
		
		donc $V_{n+1} = \left(\dfrac13\times U_n+8\right)-12 = \dfrac13\times U_n-4$\\
		
		donc $V_{n+1} = \dfrac13\times (V_n+12)-4 = \dfrac13\times V_n+4-4$\\
		
		donc $V_{n+1} = \dfrac13\times V_n$\\
		
		donc la suite $(V_n)$ est géométrique de raison $\dfrac13$ 
		
		son premier terme est $V_0 = U_0-12 = 3-12 = -9$\\
		
		\item \underline{Exprimer $V_n$ puis $U_n$ en fonction de $n$.}\hfill {\red 1pt}
		
		D'après le cours, lorsque $V$ est géométrique de raison $q$ et de premier terme $V_0$, on a pour tout $n\in\N$, ~$V_n = q^n\times V_0$ donc ici $V_n = \left(\dfrac13\right)^n\times (-9)$
		
		On peut simplifier en $V_n = \dfrac{1}{3^n}\times (-3^2)$ puis $V_n = -\dfrac{1}{3^{n-2}}$\\
		
		Enfin, puisque $U_n = V_n+12$ on a : pour tout $n\in\N,~U_n = 12--\dfrac{1}{3^{n-2}}$
		
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}
