\documentclass[a4paper,11pt]{article}
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\setdefaultenum {1.}{a)}{}{}
\hyphenpenalty 10000 % empèche la coupure de mots
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\DecimalMathComma

% ########################### MES PARAMETRES ##############################################################
\def\monnumero{ 1 }
\def\madate{ Juin 2026}
% ########################### MES PARAMETRES ##############################################################

% en-tete
\lhead{\footnotesize{\textsf{Génie Civil\\ \madate}}} %gauche
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{Géométrie dans l'espace\\série 2}}}}} %centre
\rhead{\footnotesize{\textsf{MAT4 }}}%droit
%pied de page
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}}
\lfoot{\scriptsize{\textsf{\textsc{Stéphane Le Méteil }}}}

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\newcommand{\exo}{\bigskip  \stepcounter{nexo} \vskip 0.3cm \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\small{EXERCICE~\arabic{nexo}}}}}}}\quad}

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\begin{document}%\everymath{\displaystyle}
\onehalfspacing 
\exo Sachant que $\vect{u}.\vect{v} = ||\vect{u}||\times||\vect{v}||\times \cos(\vect{u},\vect{v})$ 

Montrer que $AB = \sqrt{\vect{AB}.\vect{AB}} = \sqrt{\vect{AB}^2}$

Calculer la distance entre $A(1;2;3)$ et $B(5;-1;2)$

\exo Sachant que $||\vect{u}\wedge\vect{v}|| = ||\vect{u}||\times||\vect{v}||\times |\sin(\vect{u},\vect{v})|$ 

Montrer que $\text{aire}(ABC) = \dfrac12\times||\vect{AB}\wedge\vect{AC}||$

Calculer l'aire de $ABC$ lorsque $A(1;2;3)$,$B(5;-1;2)$~et $C(1;0;1)$

\exo Rappeler la formule donnant le volume d'un  parallélépipède.

Montrer que la valeur absolue de $[\vect{AB},\vect{AC},\vect{AD}]$ est le volume du parallélépipède engendré par $\vect{AB}$,~$\vect{AC}$ et $\vect{AD}$.

Calculer le volume du parallélépipède engendré par $\vect{AB}$,~$\vect{AC}$ et $\vect{AD}$ lorsque $A(1;2;3)$,$B(5;-1;2)$,~ $C(1;0;1)$ et $D(2;0;1)$

\exo On souhaite déterminer la distance entre le plan $\mathcal{P}$ défini par $x+2y+3z= 4$ et le point $B(1;2;3)$ 

{\bf Méthode 1} : on note $\Delta$ la droite passant par $B$ et perpendiculaire à $\mathcal{P}$
\begin{enumerate}
	
	\item Déterminer un système d'équations paramétriques de  $\Delta$
	
	\item En déduire les coordonnées de l'intersection de $\Delta$ et de $\mathcal{P}$
	
	\item Conclure.
	
\end{enumerate}

{\bf Méthode 2} : soit $A$ de plan $\mathcal{P}$ un point du plan $\mathcal{P}$ et $\vect{n}$ un vecteur normal du plan $\mathcal{P}$

\begin{enumerate}
	
	\item Montrer que $|\vect{AM}.\vect{n}| = MH\times ||\vect{n}||$ où $H$ est le projeté orthogonal de $M$ sur $\mathcal{P}$

	\item Conclure.
	
\end{enumerate}


\exo On souhaite déterminer la distance entre la droite $\mathcal{D}$ définie par $\begin{cases}x=1+2k\\ y = -2+3k\\ z = 1-k\end{cases}$ 

\vskip -0.6cm et le point $B(1;2;3)$ 

{\bf Méthode 1} : on note $\mathcal{P}$ le plan passant par $B$ et perpendiculaire à $\mathcal{D}$
\begin{enumerate}
	
	\item Déterminer un équation cartésienne de $P$
	
	\item En déduire les coordonnées de l'intersection de $\mathcal{P}$ et de $\mathcal{D}$
	
	\item Conclure.
	
\end{enumerate}

{\bf Méthode 2} : soit $A$ un point de la droite $\mathcal{D}$ et $\vect{u}$ un vecteur directeur de la droite $\mathcal{D}$

\begin{enumerate}
	
	\item Montrer que $||\vect{AM}\wedge\vect{u}|| = MH\times||\vect{u}||$ où $H$ est le projeté orthogonal de $M$ sur $\mathcal{D}$
	
	\item Conclure.
	
\end{enumerate}

\end{document}

