\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage[left=1.5cm,right=1.5cm,top=2cm,bottom=2cm]{geometry}
\usepackage{fancyhdr}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{26pt}
\setlength{\footskip}{18pt}
\renewcommand {\headrulewidth}{0pt}
\renewcommand {\footrulewidth}{0pt}
\usepackage{lastpage}
\pagestyle{fancy}
\usepackage {array}
\usepackage {tikz}
\usepackage{pst-xkey,pst-3dplot}

\usepackage{pgfplots}
\pgfplotsset{compat = newest}

\usepackage{pstricks}
\usepackage{setspace}
\usepackage{dsfont}
\usepackage[np]{numprint}
\usepackage{multicol}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{multicol}
\frenchbsetup{StandardLists=true} % pour des points au lieu des tirets pour les listes par défaut
\setlength{\parindent}{0pt}
\newcommand{\R}{\mathds {R}}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}


\def\ds{\displaystyle }
\def\tv{\vrule height 10pt depth 10pt width 0.5pt }
\def\tvi{\vrule height 20pt depth 20pt width 0pt }
\def\grad{\text{grad}}
\def\Exemple{\bigskip{\bf Exemple} }
\def\Remarque{\bigskip{\bf Remarque}  }

\DecimalMathComma

% ########################### MES PARAMETRES ##############################################################
\def\monnumero{ 5 }
\def\madate{ Mars 2026}
% ########################### MES PARAMETRES ##############################################################

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{IUT Génie Civil\\ \madate}}} %gauche
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{Fonctions de plusieurs variables}}}}} %centre
\rhead{\footnotesize{\textsf{MAT4 }\\version 1}}%droit
%pied de page
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}}
\lfoot{\scriptsize{\textsf{\textsc{Stéphane Le Méteil }}}}

\setlength{\columnseprule}{0.5pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}

\newcounter{nexo}           % déclaration du numéro d'exo
\setcounter{nexo}{0}        % initialisation du numero

\newcommand{\exo}{
  \stepcounter{nexo}
  \bigskip\par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\small{EXERCICE \; \arabic{nexo}}}}}}\quad}}

\def\exemple{\medskip {\bf Exemple : } }

\begin{document}
%\everymath{\displaystyle}
\noindent

\underline{\Large Protocole : étudier la nature des points critiques.} 

\bigskip

Le protocole pour étudier la nature des points critiques d'une fonction de classe $C^2$ peut être le suivant : 

\begin{enumerate}
	\item Calculer les dérivées partielles premières, former le gradient $\nabla$.
	\item Résoudre $\nabla(f) = \vect{0}$. Les solutions sont les endroits des points critiques $(a,b)$.
	\item Calculer les dérivées partielles secondes, former la matrice hessienne $H_f$
	\item Pour chaque point critique $(a,b)$
		\begin{enumerate}
			\item Evaluer la matrice hessienne en $(a,b)$. On aura une matrice symétrique à coefficients réels constants.
			\item Former le polynôme caractéristique de cette matrice : $P_A(\lambda) = \det(A-\lambda.I)$
			\item Résoudre $P_A(\lambda)=0$. Les solutions sont appelées valeurs propres $\lambda_i$
			\item Conclure ainsi : 
			\begin{itemize}
				\item Si les valeurs propres sont toutes strictement positives alors $f$ admet en $(a,b)$ un minimum local.
				\item Si les valeurs propres sont toutes strictement négatives alors $f$ admet en $(a,b)$ un maximum local.
				\item Si les valeurs propres ne sont pas toutes du même signe alors $f$ admet en $(a,b)$ un point col.
				\item Si au moins une des valeurs propres est nulle alors on ne peut pas donner la nature du point critique de cette façon.
			\end{itemize}
		\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document} 