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% ########################### MES PARAMETRES ##############################################################
\def\monnumero{ 5 }
\def\madate{ Mars 2026}
% ########################### MES PARAMETRES ##############################################################

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  \bigskip\par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\small{EXERCICE \; \arabic{nexo}}}}}}\quad}}

\def\exemple{\medskip {\bf Exemple : } }

\begin{document}
%\everymath{\displaystyle}
\noindent

Un {\blue champ scalaire} est une fonction de plusieurs variables qui associe un seul nombre (ou scalaire) à chaque point de l'espace.

\exemple $f(x,y) = x+y$. 

\vskip 0.5cm

Un {\blue champ vectoriel} est une fonction qui associe un vecteur à chaque point de plan / de l'espace.

\exemple $f(x,y) = \begin{bmatrix}f_1\cr f_2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}xy\cr x+y\end{bmatrix}$

\vskip 0.5cm

Pour dériver une fonction de plusieurs variables par rapport à l'une d'elles il suffit de considérer que toutes les autres sont des constantes. On note $\dfrac{\partial f}{\partial x} = f'_x = f'_1=D_1f$ pour la dérivée de $f$ par rapport à la variable $x$. On la nomme {\blue dérivée partielle} par rapport à $x$.

\exemple : Si $f(x,y) = x^2y+y$ alors $\dfrac{\partial f}{\partial x} = 2xy$ et $\dfrac{\partial f}{\partial y} = x^2+1$

\vskip 0.5cm

On définit l'opérateur {\blue nabla} noté $\nabla$ par $\begin{bmatrix}\frac{\partial }{\partial x}\cr\frac{\partial }{\partial y}\end{bmatrix}$ si on utilise une fonction de deux variable $x$ et $y$. Plus généralement $\nabla(f) = [\frac{\partial }{\partial x_1},\cdots,\frac{\partial }{\partial x_n}]^T$ (transposée) lorsqu'il y a $n$ variables.

\vskip 0.5cm

Le {\blue gradient d'un champ scalaire} produit un champ vectoriel. Noté grad$(f)$ il est défini par le vecteur de composantes $\dfrac{\partial f}{\partial x_i}$. On peut le noter $\nabla(f)$.

\exemple : Si $f(x,y) = x^2y+y$ alors grad$(f)=\begin{bmatrix} 2xy\cr x^2+1\end{bmatrix}$

\vskip 0.5cm

La {\blue différentielle de $f$} est l'accroissement infinitésimal de $f$, notée $df$, si $f$ dépend de deux variables $x$ et $y$ alors elle est définie par $dx=\dfrac{\partial f}{\partial x}dx+\dfrac{\partial f}{\partial y}dy = \text{grad}(f)\cdot dl$ (produit scalaire) où $dl = \begin{bmatrix}dx\cr dy\end{bmatrix}$

\exemple : Si $f(x,y) = x^2y+y$ alors $df= 2xy\;dx + (x^2+1)\;dy$

\vskip 0.5cm

La dérivée de $f$ dans la direction donnée par le vecteur unitaire $\vec{u}$, appelée {\blue dérivée directionnelle selon $\vec{u}$ } est égale à grad$(f)\cdot \vec{u}$ 

\exemple La dérivée de $f$ définie par $f(x,y)$ dans le sens $\begin{bmatrix}1\cr2\end{bmatrix}$ est $f'_{\vec{u}} = \dfrac{\partial f}{\partial x}+2\dfrac{\partial f}{\partial y}$

\vskip 0.5cm

Puisque $f'_{\vec{u}} = grad(f)\cdot \vec{u} = ||grad(f)||\times ||\vec{u}||\times\cos(grad(f),\vec{u})$, la direction dans laquelle la variation de $f$ sera la plus importante est obtenue lorsque $\cos(grad(f),\vec{u})$ vaut 1 donc lorsque $\vect{u}$ est dans le sens du gradient. {\blue Le gradient de $f$ est la direction dans laquelle $f$ évolue le plus rapidement.}

\vskip 0.5cm

La {\blue ligne de niveau k} d'un champ scalaire $f$ est l'ensemble des points de coordonnées ($x,y)$ tels que $f(x,y) = k$. 

\exemple Si $f(x,y) = x^2+y^2$ alors la ligne de niveau 25 est l'exemple des points de coordonnées $(x,y)$ tels que $f(x,y) = 25$ c'est à dire $x^2+y^2 = 25$, on reconnaît l'équation cartésienne du cercle de centre $O$ et de rayon 5.

\vskip 0.5cm

Le long de cette ligne de niveau la fonction $f$ n'évolue par donc on aura $df=0$. Or $df = \grad(f)\cdot(dl)$ donc si on se déplace sur la ligne de niveau alors ce produit scalaire est nul donc {\blue  en tout point, le gradient de $f$ est orthogonal à la ligne de niveau.}

\vskip 1cm

On considère la surface $S$ définie par l'équation $z=f(x,y)$. Elle correspond à la ligne de niveau 0 de {\blue la fonction $\varphi$} définie par $\varphi(x,y,z) = z-f(x,y)$\bigskip

grad$(\varphi)$ est alors un vecteur orthogonal à  la surface $S$ or il a pour composantes : \medskip

 grad$(\varphi)=[\frac{\partial\varphi}{\partial x},\frac{\partial\varphi}{\partial y},\frac{\partial\varphi}{\partial z}]^T = [-\frac{\partial f}{\partial x},-\frac{\partial f}{\partial y},1]^T$ (transposée)
 
\vskip 0.5cm

{\blue Le plan tangent à S en $M_0\Big(x_0,y_0,f(x_0,y_0)\Big)$} a donc pour vecteur normal  $grad(\varphi)$ et passe par $M_0$, c'est l'ensemble des points $(x,y,z)$ vérifiant $\vect{M_0M}\cdot grad(\varphi) = 0$

\exemple : {\onehalfspacing Si $f(x,y)=x^2y$. On considère la surface définie par $z=f(x,y)$ 

On forme $\varphi(x,y,z) = z-x^2y$ donc  S est donc définie par la ligne de niveau 0 :  $\varphi(x,y,z)= 0$

Si on s'intéresse au point de la surface défini par $x=2$ et $x=1$ alors sa cote $z= f(2,1) = 4$, le point de la surface a pour coordonnées $M_0(2,1,4)$ 

Par ailleurs $\dfrac{\partial\varphi}{\partial x} = 2xy$ et $\dfrac{\partial\varphi}{\partial y}= x^2$
donc en ce point $M_0$ on a : grad $\varphi=\begin{bmatrix}-\frac{\partial\varphi}{\partial x}{\text{\tiny(2,1)}}\cr -\frac{\partial\varphi}{\partial y}{\text{\tiny(2,1)}}\cr 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-4\cr-4\cr1\end{bmatrix}$


Il est normal au plan tangent à S en $M_0$, le plan a donc pour équation $\vect{M_0M}\cdot\nabla({\varphi}) = 0$

C'est à dire $\begin{bmatrix}x-2\cr y-1\cr z-4\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix}-4\cr-4\cr1\end{bmatrix} = 0$
puis $-4(x-2)-4(y-1)+(z-4)=0$ et enfin $-4x-4y+z+8=0$ 

Le plan tangent à la surface S en $M_0(2,1,4)$ a pour équation $4x+4y-z-8=0$
}

\vskip 0.5cm

On appelle {\blue point critique} de $f$ les points pour lesquels grad$(f) = \vect{0}$

\exemple  Si $f(x,y) = x^2+y^2$ alors grad$(f)=\begin{bmatrix} 2x\cr 2y\end{bmatrix}$, on résout alors : $x= 0$ et $y = 0$ donc seul $(0,0)$ est un point critique.

\vskip 0.5cm

On définit les {\blue dérivées partielles secondes} les dérivées partielles des dérivées premières. Si $f$ est une fonction de $x$ et de $y$ alors il y avait deux dérivées premières donc quatre dérivées partielles secondes : $\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}$,\quad $\dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}$,\quad $\dfrac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}$\quad et\quad $\dfrac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}$.

\exemple : si $f(x,y) = x^2y+y$ alors \bigskip

\hskip 2cm$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial~2xy}{\partial x} = 2y$
\hskip 2cm
$\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial~x^2+1}{\partial y} = 0$

\bigskip

\hskip 2cm$\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x} = \frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial~2xy}{\partial y} = 2x$
\hskip 2cm
$\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y} = \frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial~x^2+1}{\partial y} = 2x$

\vskip 0.5cm

Le {\blue théorème de Schwarz} nous indique que si les dérivées $\dfrac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}$ et $\dfrac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}$ sont consinues alors elles sont égales. Ce qui permet de réduire le nombre de calculs à réaliser.

\vskip 0.5cm

On appelle {\blue matrice hessienne de $f$} la matrice peuplée par les dérivées partielles secondes 

$H(f) = \begin{bmatrix}\left(\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}\right)_{i,j}\end{bmatrix} $

\exemple : si $f(x,y) = x^2y+y$ alors $H(f) = \begin{bmatrix}2y&2x\cr 2x&0\end{bmatrix} $

{\blue Donner la nature des points critiques de $f$} signifie savoir s'ils correspondent à des minima locaux, des maxima locaux ou des points 'col'. Un point est un {\blue point col} s'il correspond à un maximum local dans une direction mais un minimum local  dans une autre direction.

\vskip 0.5cm

Si on considère une surface $S$ définie par $z=f(x,y)$,\quad $M_0(x_0,y_0)$ un point critique de $f$ et $H_{M_0}(f)$ la matrice hessienne en ce point alors si cette matrice admet des valeurs propres (éventuellement égales) ce point est un 
	\begin{itemize}
	\item minimum local si les valeurs propres sont positives
	\item maximum local si les valeurs propres sont négatives
	\item point col si les valeurs propres sont de signes contraires
    \end{itemize}
si la matrice n'a pas de valeurs propres réelles alors il faudra changer de méthode pour qualifier les points critiques.

\vskip 0.5cm

Pour mémoire, les valeurs propres de la matrice $A$ sont les racines du polynôme caractéristique : $P_A(x) = det (A-x.I)$

Dans le cas d'une matrice hessienne correspondant à $f(x,y)$, ce polynôme est du second degré. Son discriminant permet de savoir s'il a des racines. Il a pour forme $x^2+\alpha x+\beta$


\exemple : Si $f(x,y) = (x-1)^2+2y^2$ alors $\nabla(f) = \begin{bmatrix}2(x-1)\cr 4y\end{bmatrix}$ donc $\nabla(f) =\vect{0}$ ssi $x=1$ et $y=0$. Le seul point critique est $M_0(1,0)$

Les dérivées partielles secondes sont $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 2$,\quad $\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = 0$  \quad et \quad  $\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 4$

La matrice hessienne en ce point est $H_{M_0}(f) = \begin{bmatrix}2&0\cr0&4\end{bmatrix}$

$P_H(x) = det(H-xI) = (2-x)(4-x)-0 = (x-4)(x-2)$ il y a deux valeurs propres 2 et 4, des nombres tous les deux positifs., il s'agit dont d'un minimum pour $f$


	
	\begin{tikzpicture}
		\begin{axis}[view = {50}{60}]
			\addplot3[domain=-2:3, domain y = -2:2, samples = 20, samples y = 20, surf,	shader = faceted interp, faceted color = teal] {(x-1)^2 + 2*y^2};
			\addplot3[ultra thick, dotted,black] coordinates { (1,0,0)	};
		\end{axis}
	\end{tikzpicture}

\end{document} 