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% ########################### MES PARAMETRES ##############################################################
\def\monnumero{ 5 }
\def\madate{ Mars 2026}
% ########################### MES PARAMETRES ##############################################################

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{IUT Génie Civil\\ \madate}}} %gauche
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{Fonctions de plusieurs variables}}}}} %centre
\rhead{\footnotesize{\textsf{MAT4 }\\version 1.1}}%droit
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\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}}
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\newcounter{nexo}           % déclaration du numéro d'exo
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  \stepcounter{nexo}
  \bigskip\par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\small{EXERCICE \; \arabic{nexo}}}}}}\quad}}

\def\exemple{\medskip {\bf Exemple : } }

\begin{document}
%\everymath{\displaystyle}
\noindent

\underline{\Large Rappel pour une fonction d'une seule variable} 

\exemple $f(x) = x^2+3x-4$. 

\vskip 0.5cm

Lorsque la fonction est dérivable en $a$, une équation de la {\blue tangente en $a$} est $y=f'(a)\times (x-a)+f(a)$

\bigskip

\begin{minipage}[t]{0.4\linewidth}

\exemple \\

avec $f(x) = x^2+3x-4$ et $a=2$ \\

cela donne $f'(x) = 2x+3$ donc $f'(2) = 7$, \\

par ailleurs $f(2) = 6$ \\

donc $y=7(x-2)+6$ \\

c'est à dire $y=7x-8$
\end{minipage}\quad
\begin{minipage}[t]{0.4\linewidth}

\psset{xunit=1cm,yunit=0.2cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=1pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-5.5,-9)(5,25)
	\psaxes[showorigin=false,labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=5,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-6,-10)(5,25)[$x$,-120][$y$,-150]
	\psplot[linewidth=1pt,linecolor=red,plotpoints=200]{-6}{5}{x^(2)+3*x-4}
	\psplot[linewidth=1pt]{-13.64}{17}{-8+7*x}
	\psline[linewidth=1pt]{->}(2,6)(3,6)
	\psline[linewidth=1pt]{->}(3,6)(3,13)
	\rput[tl](2.42,7.76){1}
	\rput[tl](3.2,10.08){7}
	\begin{scriptsize}
		\rput[bl](3.4,22){\red$C_f$}
		\rput[bl](4.5,22){$(d)$}
		\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](2,6)
		\rput[bl](1.68,6.88){\blue{$A$}}
		\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](3,6)
		\rput[bl](3.34,5.28){\blue{$B$}}
		\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](3,13)
		\rput[bl](3.3,12.64){\blue{$C$}}
	\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{minipage}

\onehalfspacing

\vskip 1cm

La {\blue formule de Taylor}, est $f(x) = f(a)+\sum\limits_{n=1}^N \dfrac {f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n+o(x-a)^n$

A l'ordre 2, en $a=2$, cela donnerait $f(x) = f(2)+(x-2)f'(2)+(x-2)^2\dfrac{f''(2)}{2}+o(x-2)^2$

or on a déjà $f(2) = 6$, $f'(2)=7$ et on calcule $f''(x)=2$ donc $f(x) = 6+(x-2)\times 7+(x-2)^2+o(x-2)^2$

C'est à dire $f(x) = 7x-8+(x-2)^2+o(x-2)^2$ on retrouve dans $7x-8$ la partie relative à la tangente.\\

 La différence entre $f(x)$ et $(7x-8)$ est  $(x-2)^2+o(x-2)^2$ qui est toujours positive car $+o(x-2)^2$ est négligeable devant $(x-2)^2$ donc $C_{\!\!f}$ reste au dessus de sa tangente.\\

Finalement, si la dérivée seconde c'est pas nulle c'est son signe qui permet de connaître la convexité de la courbe au voisinage de $a$. 

\bigskip
Lorsque la dérivée s'annule (mais que la dérivée seconde ne s'annule pas) on a : 

\hfil $f(x) = f(a)+ \dfrac {f^{(2)}(a)}{2}(x-a)^2+o(x-a)^2$

Donc :

\begin{itemize}

\item si $f^{(2)}(a)>0$ alors localement : $f(x)>f(a)$ ce qui signifie qu'en $a$ la fonction $f$ admet un minimum local.

\item si $f^{(2)}(a)<0$ alors localement : $f(x)<f(a)$ ce qui signifie qu'en $a$ la fonction $f$ admet un maximum local.

\item si $f^{(2)}(a)=0$ alors on ne peut rien affirmer directement.

\end{itemize}

\newpage

\underline{\Large Pour une fonction de deux variables} 

La formule de Taylor s'écrit alors à l'ordre 2 : 

$$
	f(x,y) =\; f(a,b) \quad
	+\quad f_x(a,b)(x-a) + f_y(a,b)(y-b) $$ $$\quad
	+\quad\frac{1}{2} \Big[ 
	f_{xx}(a,b)(x-a)^2 
	+ 2f_{xy}(a,b)(x-a)(y-b) + f_{yy}(a,b)(y-b)^2 
	\Big] \quad
	+\quad o\big((x-a)^2 + (y-b)^2\big)
$$


que l'on peut écrire plus simplement : \[
f(x,y) = f(a,b) 
+ \nabla f(a,b)
\begin{pmatrix}
	x-a \\
	y-b
\end{pmatrix}
+ \frac{1}{2}
\begin{pmatrix}
	x-a \\
	y-b
\end{pmatrix}^T
H_f(a,b)
\begin{pmatrix}
	x-a \\
	y-b
\end{pmatrix}
+ o\big(\|(x-a,y-b)\|^2\big)
\]


où les produit sont des produits matriciels, $T$ signifie 'transposée' et $H_f(a,b)$ est la matrice hessienne de $f$ au point $A(a,b)$. Cette matrice est  $H_f(x,y) =
\begin{pmatrix}
	\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \\
	\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} & \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}
\end{pmatrix}$, on l'évalue alors en $(a,b)$

\bigskip

Si on peut utiliser le théorème de Schwarz alors $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$ donc cette matrice est symétrique. Elle est diagonalisable dans $\R$ et il existe une base orthonormée de vecteurs propres.

\bigskip

Lorsque {\bf les dérivées partielles premières s'annulent en même temps}, c'est à dire quand le gradient $\nabla$ est nul, il ne reste que : $f(x,y) = f(a,b) 
+ \frac{1}{2}
u^T
H_f(a,b)
u
+ o\big(\|u\|^2\big)
 \text{ avec } u=\begin{pmatrix}
	x-a \\
	y-b
\end{pmatrix}$

\bigskip 

Pour chaque vecteur propre $X$ de $H_f$ alors il existe une valeur propre $\lambda$ pour laquelle $H_f X = \lambda X$ donc $X^T H_f(a,b) X = \lambda \|X\|^2$ 

\bigskip

Tout vecteur $u$ se décompose dans la base de vecteurs propres $(X_1,X_2)$ sous la forme $u=\alpha_1X_1+\alpha_2X_2$

et $$u^T
H_f(a,b)
u =(\alpha_1X_1+\alpha_2X_2)^T H_f(a,b) (\alpha_1X_1+\alpha_2X_2) = \lambda_1\alpha_1^2+\lambda_2\alpha_2^2$$

Le dernier terme de la formule de Taylor étant négligeable devant $u^T H_f(a,b) u $, on peut affirmer que : 

\begin{itemize}

\item Lorsque les deux valeurs propres sont strictement positives, on a  : $u^TH_f(a,b)u>0$  pour tout $u$ donc $f$ admet en $A(a,b)$ un minimum local

\item Lorsque les deux valeurs propres sont strictement négatives, on a  : $u^TH_f(a,b)u<0$  pour tout $u$ donc $f$ admet en $A(a,b)$ un maximum local

\item Lorsque les deux valeurs propres sont de signes contraires alors $f$ admet en $(a,b)$ un point col.

\item Lorsqu'au moins une des deux valeurs propres est nulle on ne peut pas conclure avec cette méthode.
\end{itemize}


\end{document} 