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% ########################### MES PARAMETRES ##############################################################
\def\monnumero{ 5 }
\def\madate{ Mars 2026}
% ########################### MES PARAMETRES ##############################################################

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{IUT Génie Civil\\ \madate}}} %gauche
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{Fonctions de plusieurs variables}}}}} %centre
\rhead{\footnotesize{\textsf{MAT4 }}}%droit
%pied de page
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}}
\lfoot{\scriptsize{\textsf{\textsc{Stéphane Le Méteil }}}}

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\newcounter{nexo}           % déclaration du numéro d'exo
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  \stepcounter{nexo}
  \bigskip\par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\small{EXERCICE \; \arabic{nexo}}}}}}\quad}}

\newcounter{ncor}           % déclaration du numéro d'exo
\setcounter{ncor}{0}        % initialisation du numero

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	\stepcounter{ncor}
	\bigskip\par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\small{CORRIGÉ \; \arabic{ncor}}}}}}\quad}}

\begin{document}
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\noindent

\onehalfspacing

Soit une fonction définie par $f(x,y) = x^2+xy+y^2-3x-6y+10$. Quelle est la nature de ses points critiques?

{\blue 1) On calcule son gradient.}

$\nabla (f) = \begin{bmatrix}2x+y-3\cr x+2y-6\end{bmatrix}$\\


{\blue 2) On recherche les endroits des points critiques.}

Un point est critique ssi  $\nabla (f)=\vect{0}$. Donc on résout $\begin{cases}2x+y=3\cr x+2y=6\end{cases}$

Cela donne : $\begin{cases}y=3-2x\cr x+2(3-2x)=6\end{cases}$ puis $\begin{cases}2x+y=3\cr -3x=0\end{cases}$ donc $\begin{cases}y=3\cr x=0\end{cases}$

Ici $f$ n'admet qu'un seul point critique, c'est en $A(0;3)$\\

{\blue 3) On forme la matrice hessienne puis on l'exprime en chaque point critique.}

$H_f(x,y) = \begin{bmatrix}2&1\cr 1&2\end{bmatrix}$ c'est ici une matrice constante. Elle est symétrique.\\

{\blue 4) On forme le polynôme caractéristique de cette matrice.}

Il est défini par $P_H(\lambda) = det(H-\lambda.I) = \begin{vmatrix}2-\lambda&1\cr1&2-\lambda\end{vmatrix} = (2-\lambda)^2-1$\\

{\blue 5) On recherche les racines du polynôme caractéristique aussi appelée valeurs propres de $H$.}

$P_H(\lambda) = 0$ ssi $(2-\lambda)^2-1 = 0$ ssi $(2-\lambda-1)(2-\lambda+1)=0$ ssi $(1-\lambda)(3-\lambda+1)=0$

donc $\lambda=1$ ou $\lambda=2$\\

{\blue 6) On détermine la nature éventuelle du point critique.}

Puisque les deux valeurs propres sont positives, le point critique est un minimum.

\vskip 1cm

\begin{tikzpicture}
	\begin{axis}[
		view={45}{35},
		axis lines=center,
		xlabel={$x$},
		ylabel={$y$},
		zlabel={$z$},
		xmin=-2, xmax=2,
		ymin=0, ymax=10,
		zmin=0, zmax=15,
		samples=50,
		samples y=50,
		domain=-2:2,
		domain y=0:6,
		colormap/viridis,
		]
		\addplot3[
		surf,
		shader=interp,
		]
		{x^2 + x*y + y^2 - 3*x - 6*y + 10};
		
		% Point du minimum
		\addplot3[
		only marks,
		mark=*,
		mark size=2pt,
		red
		]
		coordinates {(0,3,1)};
		
	\end{axis}
\end{tikzpicture}\hskip 1cm
\begin{tikzpicture}
	\begin{axis}[
		view={0}{90},
		axis equal image,
		xlabel={$x$},
		ylabel={$y$},
		xmin=-2, xmax=2,
		ymin=0, ymax=6,
		domain=-2:2,
		domain y=0:6,
		samples=40,
		samples y=40,
		colorbar,
		colormap/viridis,
		]
		
		\addplot3[
		contour filled={
			number=15,
		},
		]
		{x^2 + x*y + y^2 - 3*x - 6*y + 10};
		
		% Minimum
		\addplot[
		only marks,
		mark=*,
		mark size=2pt,
		red
		]
		coordinates {(0,3)};
		
	\end{axis}
\end{tikzpicture}



\end{document} 