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\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
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{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}


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\def\Exemple{\bigskip{\subsection* Exemple} }
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\DecimalMathComma

% ########################### MES PARAMETRES ##############################################################
\def\monnumero{ 5 }
\def\madate{ Mars 2026}
% ########################### MES PARAMETRES ##############################################################

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{IUT Génie Civil\\ \madate}}} %gauche
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{Fonctions de plusieurs variables}}}}} %centre
\rhead{\footnotesize{\textsf{MAT4 }}}%droit
%pied de page
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}}
\lfoot{\scriptsize{\textsf{\textsc{Stéphane Le Méteil }}}}

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\newcounter{nexo}           % déclaration du numéro d'exo
\setcounter{nexo}{0}        % initialisation du numero

\newcommand{\exo}{
  \stepcounter{nexo}
  \bigskip\par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\small{EXERCICE \; \arabic{nexo}}}}}}\quad}}


\begin{document}
\everymath{\displaystyle}
\noindent

\exo Soit la fonction $f$ définie par $f(x,y)=x^2y^3+\mathrm{e}^{xy}+\frac{x}{y}.$

\begin{enumerate}
	\item Déterminer les dérivées partielles premières : 
	$
	\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)
	\qquad \text{et} \qquad
	\frac{\partial f}{\partial y}(x,y).
	$
	
	\item Calculer les dérivées partielles secondes : 
	$
	\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x,y),
	\qquad
	\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x,y),
	\qquad
	\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(x,y).
	$
	
	\item Vérifier que :
	$
	\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}
	=
	\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}.
	$
\end{enumerate}

\exo Soit la fonction définie par : $f(x,y)=x^2y+\mathrm{e}^{x-2y}+3x-\ln(y+2).$

\begin{enumerate}
	\item Déterminer les dérivées partielles premières de la fonction \(f\).
	
	\item En déduire le gradient de \(f\), noté
	\[
	\nabla f(x,y).
	\]
	
	\item \'Ecrire la différentielle de \(f\) au point \((x,y)\).
	
	\item Déterminer la dérivée directionnelle de \(f\) selon \(\vect{u}(1,-1)\) au point $A(2;3)$.
	
\end{enumerate}

\exo Soit la fonction \( f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} \) définie par $
f(x,y)=x^3-3xy^2-6x^2+12y-\dfrac{12}{x}$ \medskip


	 Déterminer l'ensemble des points critiques de \(f\), c'est-à-dire l'ensemble des points \((x,y)\) tels que\\
	 
	 $\nabla f(x,y)=0$. On ne demande pas d'étudier la nature de ces points critiques.\medskip


\exo Soit la fonction \( f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} \) définie par : 
$
f(x,y)=x^2+y^2-2x-4y+1
$

\begin{enumerate}
	\item Déterminer les points critiques de \(f\).
	
	\item Calculer les dérivées partielles secondes de \(f\).
	
	\item Déterminer la nature des points critiques de \(f\)
	(minimum local, maximum local ou point selle).
\end{enumerate}

\exo Idem avec la fonction \( f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} \) définie par $f(x,y)=x^3+y^3-3xy$

\bigskip

\exo Soit la fonction \( f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} \) définie par
\[
f(x,y)=x^2+2xy+3y^2-4x+y.
\]

On considère la surface d'équation
\[
z=f(x,y).
\]

\begin{enumerate}
	\item Calculer les dérivées partielles premières de \(f\).
	
	\item Déterminer le point $B$ de la surface correspondant au point
	\[
	A(1,-1).
	\]
	
	\item Établir, en justifiant,  une équation du plan tangent à la surface en $B$.
\end{enumerate}

\end{document} 