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\def\Exemple{\bigskip{\subsection* Exemple} }
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\DecimalMathComma

% ########################### MES PARAMETRES ##############################################################
\def\monnumero{ 5 }
\def\madate{ Mars 2026}
% ########################### MES PARAMETRES ##############################################################

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{IUT Génie Civil\\ \madate}}} %gauche
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{Fonctions de plusieurs variables}}}}} %centre
\rhead{\footnotesize{\textsf{MAT4 }}}%droit
%pied de page
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}}
\lfoot{\scriptsize{\textsf{\textsc{Stéphane Le Méteil }}}}

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\newcounter{nexo}           % déclaration du numéro d'exo
\setcounter{nexo}{0}        % initialisation du numero

\newcommand{\exo}{
  \stepcounter{nexo}
  \bigskip\par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\small{EXERCICE \; \arabic{nexo}}}}}}\quad}}

\newcounter{ncor}           % déclaration du numéro d'exo
\setcounter{ncor}{0}        % initialisation du numero

\newcommand{\cor}{
	\stepcounter{ncor}
	\bigskip\par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\small{CORRIGÉ \; \arabic{ncor}}}}}}\quad}}

\begin{document}
%\everymath{\displaystyle}
\noindent

\setcounter{nexo}{0}

\exo 

\begin{enumerate}
	\item Calculer le gradient de $f(x,y,z) = 2x^2y-\dfrac{y}{z}+5x+4$
	
	\item Calculer la divergence de $f(x,y,z) = (3x^2y,xe^y,\frac{x}{z+1})$
	
	\item Calculer le rotationnel de $f(x,y,z) = (x^2yz, xyz,-y+3x)$. 
	
	\item Le laplacien de $f(x,y) = 2x^2e^{xy}$ est-il $\Delta f(x,y) = e^{xy}(2x^4+2x^2y^2+8xy+4)$ ?
	
\end{enumerate}

\vskip 1cm

\exo Déterminer la nature de point critique de $f(x,y) = x^2+xy+y^2-3x-6y$

\vskip 1cm

\exo  Soit $f$ la fonction définie sur $\R^2$ par $f(x,y) = x^4+y^4-4xy+1$

\begin{enumerate}
	\item Calculer le gradient de $f$\quad et\quad la matrice hessienne de $f$ en $(x,y)$.
	\item Montrer que les coordonnées des points critiques vérifient $\begin{cases}x^3=y\cr y^3=x\end{cases}$
	\item Sachant que $y^9-y = y(y^4-1)(y^4+1)$.\\Montrer que les seuls points critiques sont en $(x,y)=(0,0)$, ou en $(1,1)$ ou en $(-1,-1)$.
	\item Quelle est, en justifiant, la nature des points critiques en $(0,0)$ et en $(1,1)$?
	\item On souhaite établir une équation du plan $\mathcal{P}$ tangent à la surface $(S)$ d'équation cartésienne $z= f(x,y)$ en $(2,1)$.
	\begin{enumerate}
		\item Donner un vecteur normal à $\mathcal{P}$.
		\item \'Etablir alors une équation cartésienne de $\mathcal{P}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{document} 