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\def\grad{\text{grad}}
\def\Exemple{\bigskip{\subsection* Exemple} }
\def\Remarque{\bigskip{\subsection* Remarque}  }

\DecimalMathComma

% ########################### MES PARAMETRES ##############################################################
\def\monnumero{ 5 }
\def\madate{ Mars 2026}
% ########################### MES PARAMETRES ##############################################################

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{IUT Génie Civil\\ \madate}}} %gauche
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{Fonctions de plusieurs variables}}}}} %centre
\rhead{\footnotesize{\textsf{MAT4 }}}%droit
%pied de page
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}}
\lfoot{\scriptsize{\textsf{\textsc{Stéphane Le Méteil }}}}

\setlength{\columnseprule}{0.5pt}
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\newcounter{nexo}           % déclaration du numéro d'exo
\setcounter{nexo}{0}        % initialisation du numero

\newcommand{\exo}{
  \stepcounter{nexo}
  \bigskip\par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\small{EXERCICE \; \arabic{nexo}}}}}}\quad}}

\newcounter{ncor}           % déclaration du numéro d'exo
\setcounter{ncor}{0}        % initialisation du numero

\newcommand{\cor}{
	\stepcounter{ncor}
	\bigskip\par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\small{CORRIGÉ \; \arabic{ncor}}}}}}\quad}}

\begin{document}
%\everymath{\displaystyle}
\noindent

\setcounter{nexo}{0}

\exo Champ scalaire / champ vectoriel

On considère les fonctions suivantes :
\[
f(x,y)=x^2+y \quad ; \quad \vec{F}(x,y)=\begin{bmatrix}x+y\\xy\end{bmatrix}
\]

\begin{itemize}
	\item Dire laquelle est un champ scalaire et laquelle est un champ vectoriel.
	\item Donner l'image du point \((1,2)\) pour chacune.
\end{itemize}

\exo Dérivées partielles

Soit \( f(x,y)=x^3+2xy-y^2 \)

\begin{itemize}
	\item Calculer \( \frac{\partial f}{\partial x} \)
	\item Calculer \( \frac{\partial f}{\partial y} \)
	\item Évaluer en \((1;-1)\)
\end{itemize}

Soit \( g(x,y)=e^x y + x y^2 \)

\begin{itemize}
	\item Calculer \( \frac{\partial g}{\partial x} \)
	\item Calculer \( \frac{\partial g}{\partial y} \)
	\item Évaluer en \((0;1)\)
\end{itemize}

\exo Gradient

Soit \( f(x,y)=x^2+xy+y^2 \)

\begin{itemize}
	\item Calculer \( \text{grad}(f) \)
	\item Évaluer en \((1;1)\)
\end{itemize}

Soit \( g(x,y)=x^2-y^2+2x \)

\begin{itemize}
	\item Calculer \( \text{grad}(g) \)
	\item Évaluer en \((1;1)\)
\end{itemize}

\exo Différentielle

Soit \( f(x,y)=x^2y \)

\begin{itemize}
	\item Calculer \( df \)
	\item Estimer la variation entre \((1;2)\) et \((1{,}01;2{,}02)\)
\end{itemize}

Soit \( g(x,y)=xy^2 \)

\begin{itemize}
	\item Calculer \( dg \)
	\item Estimer la variation entre \((1,2)\) et \((1{,}01;2{,}02)\)
\end{itemize}

\exo Dérivée directionnelle

Soit \( f(x,y)=x^2+y^2 \)

\begin{itemize}
	\item Calculer le gradient
	\item Calculer la dérivée directionnelle en \((1,1)\) selon \( \begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix} \) puis \( \begin{bmatrix}-1\\1\end{bmatrix} \)
\end{itemize}

Soit \( g(x,y)=x^2-xy \)

\begin{itemize}
	\item Calculer le gradient
	\item Calculer la dérivée directionnelle en \((1;1)\) selon les mêmes vecteurs
\end{itemize}

\exo Lignes de niveau

Soit \( f(x,y)=x^2+y^2 \)

\begin{itemize}
	\item Décrire la ligne de niveau 4
	\item Vérifier l'orthogonalité du gradient en \((2;0)\)
\end{itemize}

Soit \( g(x,y)=xy \)

\begin{itemize}
	\item Décrire la ligne de niveau 1
	\item Vérifier l'orthogonalité du gradient en \((1;1)\)
\end{itemize}

\exo Plan tangent

Soit \( f(x,y)=xy \)

\begin{itemize}
	\item Déterminer le plan tangent en \((1;2)\)
\end{itemize}

Soit \( g(x,y)=x^2+y^2 \)

\begin{itemize}
	\item Déterminer le plan tangent en \((1;1)\)
\end{itemize}

\exo Points critiques

Soit \( f(x,y)=x^2-y^2 \)

\begin{itemize}
	\item Déterminer les points critiques
	\item Donner leur nature
\end{itemize}

Soit \( g(x,y)=x^2+y^2+2x \)

\begin{itemize}
	\item Déterminer les points critiques
	\item Donner leur nature
\end{itemize}



\newpage

\setcounter{ncor}{0}

\begin{multicols}{2}

\cor

\begin{itemize}
	\item \(f\) est un champ scalaire, \(\vec F\) un champ vectoriel
	\item \(f(1,2)=3\), \(\vec F(1,2)=\begin{bmatrix}3\\2\end{bmatrix}\)
\end{itemize}

\cor

\[
f_x=3x^2+2y,\quad f_y=2x-2y
\]
\[
f_x(1,-1)=1,\quad f_y(1,-1)=4
\]

\[
g_x=e^x y + y^2,\quad g_y=e^x + 2xy
\]
\[
g_x(0,1)=2,\quad g_y(0,1)=1
\]

\cor

\[
\text{grad}(f)=\begin{bmatrix}2x+y\\x+2y\end{bmatrix},\quad \text{grad}(1,1)=\begin{bmatrix}3\\3\end{bmatrix}
\]

\[
\text{grad}(g)=\begin{bmatrix}2x+2\\-2y\end{bmatrix},\quad \text{grad}(1,1)=\begin{bmatrix}4\\-2\end{bmatrix}
\]

\cor

\[
df=2xy\,dx + x^2\,dy
\]
\[
df \approx 0{,}06
\]

\[
dg=y^2\,dx + 2xy\,dy
\]
\[
dg \approx 0{,}12
\]

\columnbreak

\cor

\[
\text{grad}(f)(1,1)=\begin{bmatrix}2\\2\end{bmatrix}
\] et en notant $\vec{u} = \begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}$ alors $\|\vec{u}\| = \sqrt{2}$ donc 
\[
f'_{(1,1)}=\begin{bmatrix}2\\2\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}\times \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2},\quad f'_{(-1,1)}=0
\]

\[
\text{grad}(g)(1,1)=\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}
\]
\[
g'_{(1,1)}=0,\quad g'_{(-1,1)}=-\sqrt{2}
\]

\cor

\[
x^2+y^2=4
\]
\[
\text{grad}(2,0)=\begin{bmatrix}4\\0\end{bmatrix},\quad (4,0)\cdot(0,1)=0
\]

\[
xy=1
\]
\[
\text{grad}(1,1)=\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix},\quad (1,1)\cdot(1,-1)=0
\]

\cor

\[
-2(x-1)-(y-2)+(z-2)=0
\]

\[
-2(x-1)-2(y-1)+(z-2)=0
\]

\cor

\[
(0,0),\quad \text{point col}
\]

\[
(-1,0),\quad \text{minimum local}
\]

\end{multicols}
\end{document} 