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\DecimalMathComma

% ########################### MES PARAMETRES ##############################################################
\def\monnumero{ 5 }
\def\madate{ Mars 2026}
% ########################### MES PARAMETRES ##############################################################

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{IUT Génie Civil\\ \madate}}} %gauche
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{Fonctions de plusieurs variables}}}}} %centre
\rhead{\footnotesize{\textsf{MAT4 }}}%droit
%pied de page
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}}
\lfoot{\scriptsize{\textsf{\textsc{Stéphane Le Méteil }}}}

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\setlength{\columnsep}{30pt}

\newcounter{nexo}           % déclaration du numéro d'exo
\setcounter{nexo}{0}        % initialisation du numero

\newcommand{\exo}{
  \stepcounter{nexo}
  \bigskip\par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\small{EXERCICE \; \arabic{nexo}}}}}}\quad}}


\begin{document}
%\everymath{\displaystyle}
\noindent

\exo Calculer le gradient des fonctions suivantes.

\subsection*{1. Cas simples}

$
f(x,y)=x^2+y^2
$
\qquad
$
g(x,y)=xy
$
\qquad
$
h(x,y)=x^3+y^2
$

\subsection*{2. Cas plus élaborés}

$
f(x,y)=x^2y
$
\qquad
$
g(x,y)=e^{2x+3y}
$
\qquad
$
h(x,y)=\ln(x^3+y^2)
$
\qquad
$
p(x,y)=\sin(x^2y)
$

\subsection*{3. En dimension 3}

$
f(x,y,z)=x^2-y^2+3z^2
$
\qquad
$
g(x,y,z)=x^2y^3z
$
\qquad
$
h(x,y,z)=e^{2xy+4z+1}
$

\exo Calculer la dérivée directionnelle des fonctions suivantes au point donné, dans la direction du vecteur indiqué.

\subsection*{1. Cas simples}

$
f(x,y)=x^2+y^2,\quad A(1,1),\quad \vec{u}=(1,0)
$

$
g(x,y)=x^2y,\quad A(1,2),\quad \vec{u}=(0,1)
$

$
h(x,y)=x^3-y^2,\quad A(0,1),\quad \vec{u}=(1,1)
$

\subsection*{2. Cas plus élaborés}

$
f(x,y)=x^2y,\quad A(1,1),\quad \vec{u}=(1,2)
$

$
g(x,y)=e^{xy},\quad A(0,1),\quad \vec{u}=(1,1)
$

$
h(x,y)=\ln(3x^2+y^2),\quad A(1,1),\quad \vec{u}=(2,-1)
$


\exo Déterminer une équation du plan tangent aux surfaces suivantes au point donné.

\subsection*{1. Cas simples}

$
f(x,y)=x^2+y^2,\quad A(1,1)
$

$
g(x,y)=xy,\quad A(1,2)
$

$
h(x,y)=x^2-y^2,\quad A(0,1)
$

\subsection*{2. Cas plus élaborés}

$
f(x,y)=x^2y,\quad A(1,1)
$

$
g(x,y)=e^{3x+y},\quad A(0,0)
$

$
h(x,y)=\ln(5x^2+y^2),\quad A(1,1)
$

\subsection*{3. Interprétation}

Pour chacune des fonctions précédentes :
\begin{itemize}
	\item Calculer le gradient en $A$.
	\item Écrire le plan tangent sous la forme
	\[
	z = f(A) + \nabla f(A)\cdot \big((x,y)-A\big).
	\]
	\item Interpréter géométriquement le gradient.
\end{itemize}


\exo Calculer la divergence des champs de vecteurs suivants.

\subsection*{1. Cas simples}

$
\vec{F}(x,y)=(x,y)
$
\qquad
$
\vec{G}(x,y)=(xy,x^2)
$

\subsection*{2. En dimension 3}

$
\vec{F}(x,y,z)=(x,y,z)
$
\qquad
$
\vec{G}(x,y,z)=(xy,yz,zx)
$
\qquad
$
\vec{H}(x,y,z)=(x^3,xy^2,xyz)
$


\exo Calculer le rotationnel des champs de vecteurs suivants.

\subsection*{1. Cas simples}

$
\vec{F}(x,y,z)=(y,-x,0)
$
\qquad
$
\vec{G}(x,y,z)=(0,z,-y)
$

\subsection*{2. Cas plus élaborés}

$
\vec{F}(x,y,z)=(xy,yz,zx)
$
\qquad
$
\vec{G}(x,y,z)=(xy,yz,zx)
$


\exo Déterminer les points critiques des fonctions suivantes.

\subsection*{1. Cas simples}

$
f(x,y)=x^2+y^2+2y+1
$
\qquad
$
g(x,y)=x^2-y^2
$
\qquad
$
h(x,y)=xy
$

\subsection*{2. Cas plus élaborés}

$
f(x,y)=x^3-3xy^2
$
\qquad
$
g(x,y)=x^2+y^2-2x-4y
$
\qquad
$
h(x,y)=x^2y+y^2
$

\subsection*{3. En dimension 3}

$
f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2
$
\qquad
$
g(x,y,z)=xyz
$


\exo Déterminer la nature des points critiques des fonctions suivantes.

\subsection*{1. Cas simples}

$
f(x,y)=x^2+y^2
$
\qquad
$
g(x,y)=x^2-y^2
$
\qquad
$
h(x,y)=-x^2-y^2
$

\subsection*{2. Cas plus élaborés}

$
f(x,y)=x^2+y^2-2x-4y
$
\qquad
$
g(x,y)=x^3-3xy^2
$
\qquad
$
h(x,y)=x^2+xy+y^2
$

\subsection*{3. Cas avec fonctions non polynomiales}

$
f(x,y)=e^{x^2+y^2}
$
\qquad
$
g(x,y)=\ln(x^2+y^2)
$
\qquad
$
h(x,y)=\sin(x)\cos(y)
$

\newpage
\setcounter{nexo}{0} 
\hfil{\Large\bf \'Eléments de correction}
\setlength{\columnsep}{0.3cm}
\begin{multicols}{2}

\exo Éléments de correction : gradient.

\subsection*{1. Cas simples}

$
\nabla f(x,y)=(2x,2y)
$
\qquad
$
\nabla g(x,y)=(y,x)
$
\qquad
$
\nabla h(x,y)=(3x^2,2y)
$

\subsection*{2. Cas plus élaborés}

$
\nabla f(x,y)=(2xy,x^2)
$

$
\nabla g(x,y)=(2e^{2x+3y},3e^{2x+3y})
$

$
\nabla h(x,y)=\left(\dfrac{3x^2}{x^3+y^2},\dfrac{2y}{x^3+y^2}\right)
$

$
\nabla p(x,y)=(2xy\cos(x^2y),x^2\cos(x^2y))
$

\subsection*{3. En dimension 3}

$
\nabla f(x,y,z)=(2x,-2y,6z)
$

$
\nabla g(x,y,z)=(2xy^3z,3x^2y^2z,x^2y^3)
$

$
\nabla h(x,y,z)=(2y e^{2xy+4z+1},2x e^{2xy+4z+1},4 e^{2xy+4z+1})
$


\exo Éléments de correction : dérivées directionnelles.

On utilise $D_{\vec{u}}f(A)=\nabla f(A)\cdot \frac{\vec{u}}{\|\vect{u}\|}$.

\subsection*{1. Cas simples}

$
\nabla f=(2x,2y)\Rightarrow \nabla f(1,1)=(2,2)\Rightarrow D_{\vec{u}}f=2
$

$
\nabla g=(2xy,x^2)\Rightarrow \nabla g(1,2)=(4,1)\Rightarrow D_{\vec{u}}g=1
$

$
\nabla h=(3x^2,-2y)\Rightarrow \nabla h(0,1)=(0,-2)\Rightarrow D_{\vec{u}}h=-2
$

\subsection*{2. Cas plus élaborés}

$
\nabla f(1,1)=(2,1)\Rightarrow D_{\vec{u}}f=2\times1+1\times2=4
$

$
\nabla g=(ye^{xy},xe^{xy})\Rightarrow \nabla g(0,1)=(1,0)\Rightarrow D_{\vec{u}}g=1
$

$
\nabla h=\left(\dfrac{6x}{3x^2+y^2},\dfrac{2y}{3x^2+y^2}\right)
\Rightarrow \nabla h(1,1)=\left(\dfrac{6}{4},\dfrac{2}{4}\right)=\left(\dfrac{3}{2},\dfrac{1}{2}\right)
\Rightarrow D_{\vec{u}}h=3-\dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{2}
$

\columnbreak

\exo Éléments de correction : plans tangents.

Formule : $z=f(A)+\nabla f(A)\cdot((x,y)-A)$.

\subsection*{1. Cas simples}

$
f(1,1)=2,\ \nabla f(1,1)=(2,2)
\Rightarrow z=2+2(x-1)+2(y-1)=2x+2y-2
$

$
g(1,2)=2,\ \nabla g(1,2)=(2,1)
\Rightarrow z=2+2(x-1)+(y-2)=2x+y-2
$

$
h(0,1)=-1,\ \nabla h(0,1)=(0,-2)
\Rightarrow z=-1-2(y-1)=1-2y
$

\subsection*{2. Cas plus élaborés}

$
f(1,1)=1,\ \nabla f(1,1)=(2,1)
\Rightarrow z=1+2(x-1)+(y-1)=2x+y-2
$

$
g(0,0)=1,\ \nabla g(0,0)=(3,1)
\Rightarrow z=1+3x+y
$

$
h(1,1)=\ln(6),\ \nabla h(1,1)=\left(\dfrac{10}{6},\dfrac{2}{6}\right)=\left(\dfrac{5}{3},\dfrac{1}{3}\right)
\Rightarrow z=\ln(6)+\dfrac{5}{3}(x-1)+\dfrac{1}{3}(y-1)
$


\exo Éléments de correction : divergence.

\subsection*{1. Cas simples}

$
\operatorname{div}\vec{F}=1+1=2
$
\qquad
$
\operatorname{div}\vec{G}=y+0=y
$

\subsection*{2. En dimension 3}

$
\operatorname{div}\vec{F}=1+1+1=3
$

$
\operatorname{div}\vec{G}=y+z+x
$

$
\operatorname{div}\vec{H}=3x^2+2xy+xy=x(3x+3y)
$


\exo Éléments de correction : rotationnel.

\subsection*{1. Cas simples}

$
\operatorname{rot}\vec{F}=(0,0,-2)
$

$
\operatorname{rot}\vec{G}=(-1,0,0)
$

\subsection*{2. Cas plus élaborés}

$
\operatorname{rot}\vec{F}=(-y,-z,-x)
$

$
\operatorname{rot}\vec{G}=(-y,-z,-x)
$

\columnbreak

\exo Éléments de correction : points critiques.

\subsection*{1. Cas simples}

$
\nabla f=(2x,2y+2)=0 \Rightarrow (0,-1)
$

$
\nabla g=(2x,-2y)=0 \Rightarrow (0,0)
$

$
\nabla h=(y,x)=0 \Rightarrow (0,0)
$

\subsection*{2. Cas plus élaborés}

$
\nabla f=(3x^2-3y^2,-6xy)=0 \Rightarrow (0,0)
$

$
\nabla g=(2x-2,2y-4)=0 \Rightarrow (1,2)
$

$
\nabla h=(2xy,x^2+2y)=0 \Rightarrow (0,0)
$

\subsection*{3. En dimension 3}

$
\nabla f=(2x,2y,2z)=0 \Rightarrow (0,0,0)
$

$
\nabla g=(yz,xz,xy)=0 \Rightarrow x=0 \ \text{ou}\ y=0 \ \text{ou}\ z=0
$


\columnbreak

\exo Éléments de correction : nature des points critiques.

\subsection*{1. Cas simples}

$
f : \text{minimum en } (0,0)
$

$
g : \text{point selle en } (0,0)
$

$
h : \text{maximum en } (0,0)
$

\subsection*{2. Cas plus élaborés}

$
f : \text{minimum en } (1,2)
$

$
g : \text{point selle en } (0,0)
$

$
h : \text{minimum en } (0,0)
$

\subsection*{3. Cas non polynomiaux}

$
f : \text{minimum en } (0,0)
$

$
g : \text{pas de point critique (non défini en } (0,0))
$

$
h : \text{points critiques pour } x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\ y=k\pi,\ \text{points selle}
$
\end{multicols}
\end{document} 