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\DecimalMathComma

% ########################### MES PARAMETRES ##############################################################
\def\monnumero{ 5 }
\def\madate{ Mars 2026}
% ########################### MES PARAMETRES ##############################################################

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{IUT Génie Civil\\ \madate}}} %gauche
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{Fonctions de plusieurs variables}}}}} %centre
\rhead{\footnotesize{\textsf{MAT4 }}}%droit
%pied de page
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}}
\lfoot{\scriptsize{\textsf{\textsc{Stéphane Le Méteil }}}}

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\newcounter{nexo}           % déclaration du numéro d'exo
\setcounter{nexo}{0}        % initialisation du numero

\newcommand{\exo}{
  \stepcounter{nexo}
  \bigskip\par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\small{EXERCICE \; \arabic{nexo}}}}}}\quad}}


\begin{document}
%\everymath{\displaystyle}
\noindent

\exo [rappel] Compléter le tableau suivant en donnant la dérivée de chaque fonction.

\vspace{0.5cm}

\renewcommand{\arraystretch}{2}

\begin{tabular}{|m{3cm}|m{6cm}|m{7cm}|}
	\hline
	\textbf{Fonction} & \textbf{Dérivée}& \textbf{Exemple}\\
	\hline
	
	$x^n$ &&\\[0.4cm]\hline
	$(u(x))^n$ && \\[0.4cm]
	\hline
	
	$\exp(x)$ &&\\[0.4cm]\hline
	$\exp(u(x))$ && \\[0.4cm]
	\hline
	
	$\ln(x)$ &&\\[0.4cm]\hline
	$\ln(u(x))$ && \\[0.4cm]
	\hline
	
	$\cos(nx)$ &&\\[0.4cm]\hline
	$\cos(u(x))$ && \\[0.4cm]
	\hline
	
	$\sin(nx)$ &&\\[0.4cm]\hline
	$\sin(u(x))$ && \\[0.4cm]
	\hline
	
	$\arcsin(x)$ &&\\[0.4cm]\hline
	$\arcsin(u(x))$ && \\[0.4cm]
	\hline

	$\arccos(x)$ &&\\[0.4cm]\hline
	$\arccos(u(x))$ && \\[0.4cm]
	\hline

	$\arctan(x)$ &&\\[0.4cm]\hline
	$\arctan(u(x))$ && \\[0.4cm]
	\hline

\end{tabular}

\newpage\everymath{\displaystyle}

\exo [rappel] Calculer les dérivées des fonctions suivantes.

\subsection*{1. Dérivées simples}

$
f(x)=x^5 \qquad
g(x)=\frac{1}{x} \qquad
h(x)=\sqrt{x} \qquad
p(x)=\ln(x) \qquad
q(x)=e^x
$

\subsection*{2. Avec une difficulté}

$
f(x)=x^3 e^x
$\qquad
$
g(x)=\frac{x^2+1}{x}
$\qquad
$
h(x)=\frac{e^x}{x}
$\qquad
$
p(x)=\left(2x+1\right)^5
$\qquad
$
q(x)=\frac{1}{(x^2+1)^2}
$

\subsection*{3. Plus élaboré}

$
f(x)=x\ln(3x^2+1)
$\qquad
$
g(x)=\sqrt{2x^3+5}
$\qquad
$
h(x)=\sin(x^2)
$\qquad
$
p(x)=\ln\!\left(\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\right)
$


$
q(x)=e^{\sin x}
$
\qquad
$
r(x)=\cos(3x^2)
$


\exo [rappel] On considère \(a\) et \(k\) comme des constantes. Calculer les dérivées suivantes.\\

$
f(x)=x^a+a^2+1
$
\qquad
$
g(x)=ke^{kx^2+\frac1k}
$
\qquad
$
h(x)=\ln(ax+1)
$
\qquad
$
p(x)=\sin(kx)
$

$
q(x)=\frac{1}{ax+1}
$
\qquad
$
r(x)=\cos(ax^2+ak^2+a-k)
$


\exo Calculer les dérivées partielles premières.

\subsection*{1. Cas simples}

$
f(x,y)=x^2+y^2
$
\qquad
$
g(x,y)=xy
$
\qquad
$
h(x,y)=x^3+y
$

\subsection*{2. Cas plus élaborés}

$
f(x,y)=x^2y
$
\qquad
$
g(x,y)=e^{xy}
$
\qquad
$
h(x,y)=\ln(x^2+y^2)
$
\qquad
$
p(x,y)=\sin(xy)
$
\qquad
$
q(x,y)=x^y
$


\exo Calculer les dérivées partielles premières.

$
f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2
$
\qquad
$
g(x,y,z)=xyz
$
\qquad
$
h(x,y,z)=x^2yz
$\\


$
p(x,y,z)=e^{x+y+z}
$
\qquad
$
q(x,y,z)=\ln(x^2+y^2+z^2)
$
\qquad

\exo Calculer les dérivées partielles secondes.

\subsection* {1. Fonctions polynomiales}

$
f(x,y)=x^3+2xy+y^2
$
\qquad
$
g(x,y)=x^2y+y^3
$
\qquad
$
h(x,y,z)=x^2+y^2+z^2+xyz
$

\subsection*{2. Fonctions plus délicates}

$
f(x,y)=\ln(x^2+y^2)
$
\qquad
$
g(x,y)=e^{xy}
$
\qquad
$
h(x,y)=\sin(xy)
$
\qquad
$
p(x,y,z)=\ln(x+y+z)
$
\end{document} 