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\def\Remarque{\bigskip{\bf Remarque}  }

\def\ijk{ (\vect{i},\vect{j},\vect{k}) }
\def\Oijk{ (O,\vect{i},\vect{j},\vect{k}) }

% ########################### MES PARAMETRES ##############################################################
\def\monnumero{ 5 }
\def\madate{ Juin 2026}
% ########################### MES PARAMETRES ##############################################################

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{IUT Génie Civil\\ \madate}}} %gauche
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{Fonctions de plusieurs variables}}}}} %centre
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  \bigskip\par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\small{EXERCICE \; \arabic{nexo}}}}}}\quad}}

\def\exemple{\medskip {\bf Exemple : } }
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\begin{document}
%\everymath{\displaystyle}
\noindent
\doublespacing
{\Large VOCABULAIRE}

En 3D, un {\blue vecteur} non nul est une flèche caractérisée (une direction, un sens, une intensité ou norme), on le note $\vect{u}$ ou $\vect{AB}$. La lettre $A$ est alors son origine et $B$ son extrémité.

La {\blue norme} d'un vecteur se note $\|\vect{u}\|$

Un vecteur est {\blue nul} s'il a une norme nulle, on ne définit alors ni sa direction ni son sens. On le note $\vect{0}$

L'{\blue opposé} d'un vecteur non nul est un vecteur qui a la même direction, la même norme, mais le sens opposé. L'opposé de $\vect{u}$ se note $-\vect{u}$

Pour {\blue additionner} deux vecteurs, on les place bout à bout. Le vecteur somme a pour origine l'origine du premier vecteur et pour extrémité l'extrémité du second. On peut noter $\vect{w} = \vect{u}+\vect{v}$

En particulier, $\vect{AB}+\vect{BC} = \vect{AC}$  : c'est la relation de Chasles

Pour {\blue soustraire} deux vecteurs, on ajoute l'opposé. $\vect{u}-\vect{v} = \vect{u}+(-\vect{v})$

Le résultat de la somme $\vect{u}+\vect{u}$ se note $2\vect{u}$

Lorsqu'il existe un réel $k$ tel que $\vect{v} = k\vect{u}$ on dit que $\vect{u}$ et $\vect{v}$ sont {\blue colinéaires}.

Deux vecteurs non nuls sont dits orthogonaux lorsque leurs directions sont {\blue perpendiculaires}.

Par convention le vecteur nul est orthogonal à tout autre vecteur.

Lorsque $\vect{u}$ et $\vect{v}$ ne sont pas colinéaires, s'il existe  des réels $a$ et $b$ tels que $\vect{w}=a\vect{u}+b\vect{v}$ alors on dit que les trois vecteurs sont {\blue coplanaires}. 

Trois vecteurs non coplanaires constituent une {\blue base de l'espace}. Tout vecteur se décompose alors en combinaison linéaire unique de ces trois vecteurs :

Si $\ijk$ est une base de l'espace alors pour tout vecteur $\vect{w}$ de l'espace, il existe un unique triplet de réels $(a,b,c)$ tel que $\vect{w} = a\vect{i}+b\vect{j}+c\vect{k}$.\\Ce triplet est appelé les {\blue composantes} de $\vect{w}$ dans $\ijk$. On note alors \vskip -2cm

{\singlespacing \hfill$\vect{w} = \begin{bmatrix}a\\b\\c\end{bmatrix}$\hskip 2.5cm ~}

\medskip

Trois vecteurs non nuls sont {\blue directement orthogonaux} lorsqu'ils sont perpendiculaires deux à deux et que leur disposition définit un sens direct de l'espace. (règle des trois doigts, du tournevis, du bonhomme d'Ampère)



Un point $O$ et une base $\ijk$ constituent un {\blue repère de l'espace} $\Oijk$. Le point $O$ est alors appelé origine du repère. Pour tout point $M$ de l'espace, il existe alors un unique triplet $(a,b,c)$ tel que $\vect{OM} = a\vect{i}+b\vect{j}+c\vect{k}$. Ce triplet est appelé les {\blue coordonnées} du point $M$ et on note $M(a;b;c)$

\newpage

{\Large OUTILS}

Le {\blue produit scalaire} de $\vect{u}$ et de $\vect{v}$ est le nombre défini par $\vect{u}\cdot\vect{v} = \|\vect{u}\|\times\|\vect{v}\|\times \cos(\vect{u},\vect{v})$

\bigskip

{\bf Intérêt} : pour deux vecteurs (non nuls) $\vect{u}$ et $\vect{v}$ on a :\qquad   $\vect{u}\cdot\vect{v} =0$ ssi $\vect{u}\perp\vect{v}$

\bigskip

{\bf Propriétés} : pour tous vecteurs $\vect{u}$, $\vect{v}$ et $\vect{w}$ et tout réel $k$ on a : 

\begin{enumerate}
	\item $\vect{u}\cdot\vect{u} = \|\vect{u}\|^2$\qquad une façon de calculer la norme d'un vecteur
	\item $\vect{u}\cdot\vect{v} = \vect{v}\cdot\vect{u}$\qquad le produit scalaire est symétrique
	\item $(-\vect{u})\cdot\vect{v} = -\Big(\vect{u}\cdot\vect{v}\Big)$ il est linéaire (de chaque côté)
	\item $\Big(k\vect{u}\Big)\cdot\vect{v} = k\times \vect{u}\cdot\vect{v}$
	\item $\vect{u}\cdot(\vect{v}+\vect{w}) = \vect{u}\cdot\vect{v}+\vect{u}\cdot\vect{w}$ on peut distribuer
\end{enumerate}

\bigskip

{\bf Conséquences} dans une base orthogonale directe, avec $\vect{u}=a\vect{i}+b\vect{j}+c\vect{k}$ et $\vect{v}=a'\vect{i}+b'\vect{j}+c'\vect{k}$ : 

\begin{itemize}
	\item la propriété n°5 donne $\vect{u}\cdot\vect{v}  =a\times a'+b\times b'+c\times c' = aa'+bb'+cc'$
	\item avec deux fois le même vecteur on a  : $\|\vect{u}\|^2 =\vect{u}\cdot\vect{u}  = a^2+b^2+c^2$ donc $\|\vect{u}\|= \sqrt{a^2+b^2+c^2}$
	\item Puisque $\vect{u}\cdot\vect{u} = \|\vect{u}\|\times\|\vect{v}\|\times \cos(\vect{u},\vect{v}) = aa'+bb'+cc'$ on a donc $ \cos(\vect{u},\vect{v}) = \dfrac{ aa'+bb'+cc'}{\|\vect{u}\|\times\|\vect{v}\|}$ 
\end{itemize}

\bigskip

{\bf Géométrie} Soit $A$ un point de l'espace et $\vect{n}$ un vecteur non nul

L'ensemble des points $M(x;y;z)$ tels que $\vect{AM}.\vect{n} = 0$ constitue le plan passant par $A$ et de vecteur normal $\vect{n}$

{\singlespacing

Lorsque $A(x_A;y_A;z_A)$ et $\vect{n}\begin{bmatrix}a\\b\\c\end{bmatrix}$, cela donne pour tout $M(x;y;z)$ :  
$\begin{bmatrix}x-x_A\\y-y_A\\z-z_A\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix}a\\b\\c\end{bmatrix} = 0$


En développant, on obtient $a(x-x_A)+b(x-y_A)+c(x-z_A)=0$ 

ce qui constitue une équation cartésienne du plan passant par $A$ et de vecteur normal $\vect{n}$

\bigskip

Réciproquement toute équation de la forme $ax+by+cz+d=0$ est une équation d'un plan dont un vecteur normal est $\vect{n}\begin{bmatrix}a\\b\\c\end{bmatrix}$

}

\newpage

{\Large OUTILS (suite)}

Le {\blue produit vectoriel} de $\vect{u}$ et de $\vect{v}$ est le vecteur défini par $\vect{u}\wedge\vect{v} = \|\vect{u}\|\times\|\vect{v}\|\times \sin(\vect{u},\vect{v})\;\vect{k}$ où $\vect{k}$ est un vecteur unitaire directement orthogonal à $\vect{u}$ et $\vect{v}$

\bigskip

{\bf Intérêt} : pour deux vecteurs (non nuls) $\vect{u}$ et $\vect{v}$ on a :\qquad   $\vect{u}\wedge\vect{v} =\vect{0}$ ssi $\vect{u}\parallel\vect{v}$

\bigskip

{\bf Propriétés} : pour tous vecteurs $\vect{u}$, $\vect{v}$ et $\vect{w}$ et tout réel $k$ on a : 

\begin{enumerate}
	\item $\vect{u}\wedge\vect{v} = -\vect{v}\wedge\vect{u}$\qquad le produit vectoriel est antisymétrique
	\item $(-\vect{u})\wedge\vect{v} = -\Big(\vect{u}\wedge\vect{v}\Big)$ 
	\item $\Big(k\vect{u}\Big)\wedge\vect{v} = k\times \vect{u}\wedge\vect{v}$
	\item $\vect{u}\wedge(\vect{v}+\vect{w}) = \vect{u}\wedge\vect{v}+\vect{u}\wedge\vect{w}$ on peut distribuer
\end{enumerate}

\bigskip

{\bf Conséquences} dans une base orthogonale $\ijk$ directe, avec 

\hfil $\vect{u}=a\vect{i}+b\vect{j}+c\vect{k}$ \hskip 1cm et \qquad  $\vect{v}=a'\vect{i}+b'\vect{j}+c'\vect{k}$ : 

\begin{itemize}
	\item on a : $\vect{i}\wedge\vect{j} = \vect{k}$\hskip 1cm ; \qquad  $\vect{j}\wedge\vect{k} = \vect{i}$\hskip 1cm  ; \qquad  $\vect{k}\wedge\vect{i} = \vect{j}$
	\item  donc $\vect{u}\wedge\vect{v}  =\begin{bmatrix}bc'-b'c\\a'c-ac'\\ab'-a'b\end{bmatrix}$
\end{itemize}

\bigskip

{\bf Géométrie} Soit $A$, $B$, $C$ trois points de l'espace. Déterminent-ils un plan? Si oui, en donner une équation cartésienne.

On calcule les composantes de $\vect{AB}$ et de $\vect{AC}$ puis on calcule $\vect{AB}\wedge\vect{AC} = \vect{n}$

Si $\vect{n}$ est nul alors les trois points sont alignés et et il existe une infinité de plans passant par ces trois points.

Sinon ils déterminent un plan dont un vecteur normal est $\vect{n}$

Une équation cartésienne du plan s'obtient en développant $\vect{AM}\cdot\vect{n} = 0$ comme précédemment.

Cela s'écrit aussi  $\vect{AM}\cdot(\vect{AB}\wedge\vect{AC}) = 0$ 

\goodbreak

{\Large OUTILS (fin)}

Cette combinaison de produits se nomme le {\blue produit mixte} de $\vect{AM}$, de $\vect{AB}$ et de $\vect{AC}$, on le note $[\vect{AM},\vect{AB},\vect{AC}]$

\bigskip

Par définition le produit mixte de $\vect{u}$, $\vect{v}$ et $\vect{w}$ est le réel noté $[\vect{u},\vect{v},\vect{w}]$ égal à  $\vect{u}\cdot (\vect{v}\wedge \vect{w})$

\bigskip

{\bf Propriétés} : pour tous vecteurs $\vect{u}$, $\vect{v}$ et $\vect{w}$ et tout réel $k$, la valeur de $[\vect{u},\vect{v},\vect{w}]$ :  

\begin{enumerate}
	\item $[\vect{u},\vect{v},\vect{w}]=0$	ssi  $\vect{u},\vect{v},\vect{w}$ sont coplanaires.
	\item  change de signe si on change la place de deux vecteurs.
	\item  change de signe si on remplace un vecteur par son opposé.
	\item  est multipliée par $k$ si on multiplie un seul vecteur par $k$
	\item  est égale au déterminant de la matrice formée en colonnes par les composantes des vecteurs $\vect{u}$, $\vect{v}$ et $\vect{w}$ dans cet ordre.
\end{enumerate}

\vskip 2cm

{\Large USAGES}
\begin{multicols}{2}\singlespacing
Le {\bf produit scalaire} permet :
\begin{itemize}
	\item de calculer un angle entre deux vecteurs ;
	\item de tester l'orthogonalité de deux vecteurs ;
	\item de calculer une longueur ou une distance ;
	\item de déterminer une équation cartésienne de plan.
\end{itemize}

\vskip 1cm

Le {\bf produit vectoriel} permet :
\begin{itemize}
	\item de tester le parallélisme de deux vecteurs ;
	\item de calculer l'aire d'un parallélogramme ;
	\item de calculer l'aire d'un triangle ;
	\item de déterminer un vecteur normal à un plan ;
	\item de déterminer une équation cartésienne d'un plan.
\end{itemize}

\vskip 1cm

Le {\bf produit mixte} permet :
\begin{itemize}
	\item de tester la coplanarité de trois vecteurs ;
	\item de calculer le volume d'un parallélépipède ;
	\item de calculer le volume d'un tétraèdre ;
	\item de déterminer si quatre points sont coplanaires.
\end{itemize}
\end{multicols}

\end{document} 