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\def\boxit#1#2{\leavevmode\setbox1=\hbox{\kern#1{#2}\kern#1}%
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\def\tvi{\vrule height 15pt depth  5pt width 0pt}
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\def\taille{\vrule height 20pt depth 20pt width 0pt }


\begin{document}
	
	\thispagestyle{empty}	\noindent
	
	\begin{center}SANS CALCULATRICE\end{center}\vskip 0cm
	
	\hskip-1cm \boxit{4pt}{Minitest N°03}\rightarrowfill\quad\boxit{3pt}{Corrigé}\bigskip
	
	Quelle est l'originale de la fonction définie par $F(p) = \dfrac1p(1-e^{-3p})+\dfrac{2}{p^2} + \dfrac{3}{p^2+16} + \dfrac{4p}{p^2+9}$ ?\vskip 1cm
	
	{\red $f(t) = U(t) - U(t-3)\quad+\quad2t~U(t)\quad+\quad\dfrac34 \sin(4t)U(t)\quad+\quad4\cos(3t)U(t)$}\vskip 1cm
	
	On souhaite résoudre $y'+3y = 4U(t)$ sachant que $y(0)= 2$ en utilisant la transformée de Laplace. 
	
	Compléter le raisonnement suivant : \bigskip
	
	\hfill\fbox{\begin{minipage}{0.9\linewidth}\medskip\doublespacing
			Transformons en Laplace, on obtient : $ pY  - 2  + 3  Y =.{\red \dfrac4p}..... $   \bigskip
			
			Puis : $ (p + 3 )Y = .{\red 2+\dfrac4p}.. $  \bigskip
			
			Enfin :  $ Y =  \dfrac{ 2 }{p + 3 }  + .{\red \dfrac{4}{p(p+3)}}......  $  \bigskip
			
			Décomposons en éléments simples ce qui doit l'être :  $  \dfrac{ 4 }{p\left(p + 3 \right)}  $  
			
			On note : $ G(p) =  \dfrac{ 4 }{p\left(p + 3 \right)}   = \dfrac{A}{p}+\dfrac{B}{p + 3 } $ \bigskip
			
			Pour trouver $ A $, on calcule $ \lim\limits_{p\to 0} p\times G(p) = {\red \dfrac{4}{0+3}} = A+0$ donc $ A = {\red \dfrac43} .....  $ \bigskip
			
			Pour trouver $ B $, on calcule $ \lim\limits_{p\to  - 3 } (p  + 3 )\times G(p) = .{\red \dfrac{4}{-3}}.... = 0+B$ donc $ B = .{\red \dfrac{-4}{3}}...  $ \bigskip
			
			On a donc $ G(p) =   .{\red \dfrac43\times \dfrac1p-\dfrac43\times \dfrac{1}{p+3}}...$ \bigskip
			
			Puis $ Y(p) =  \dfrac{ 2 }{p + 3 }  +  .....{\red \dfrac43\times \dfrac1p-\dfrac43\dfrac{1}{p+3}}... $ \bigskip
			
			On peut alors reconnaitre les originaux :\bigskip
			
			$ y(t) =  2 \times ..{\red e^{-3t}~U(t)}... +  ..{\red \dfrac43 U(t)}... -  ..{\red \dfrac43 e^{-3t}~U(t)}... $ \bigskip
			
			C'est à dire $ \fbox{ $ y(t) = \Big(  \frac{2}{3}    e^{ - 3   t }  +  \frac{4}{3}   \Big) U(t) $ } $ en regroupant les termes.\bigskip
	\end{minipage}}
	
	
	
	
\end{document} 