% z transformée suite
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\setdefaultenum {1.}{a)}{}{}
\hyphenpenalty 10000 % empèche la coupure de mots
\renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}} %centrage vertical des cellules d'un tableau tabularx

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{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
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{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}

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\DecimalMathComma

% ########################### MES PARAMETRES ##############################################################
\def\monnumero{ 1 }
\def\madate{Janvier 2025}
% ########################### MES PARAMETRES ##############################################################

% en-tete
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée Schuman Perret\\ \madate}}} %gauche
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{série d'exercices No\monnumero}}}}} %centre
\rhead{\footnotesize{\textsf{Cira 2 }}}%droit
%pied de page
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}}
\lfoot{\scriptsize{\textsf{\textsc{Stéphane Le Méteil }}}}

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\begin{document}\everymath{\displaystyle}\onehalfspacing
\setdefaultleftmargin{0.6cm}{0.5cm}{}{}{}{}

\exo On considère la suite causale définie sur $\Z$ par $\dfrac{U(n)-U(n-1)}{0,1} + 2U(n) = e(n)$

\begin{enumerate}
	\item Isoler le terme $U(n)$
	
\item Calculer $U(n)$ pour $n=-1,0,1,2,3$
\end{enumerate}

\exo On considère la suite causale définie sur $\Z$ par $\dfrac{U(n)-U(n-1)}{0,01} + 8U(n) = 7e(n)$

\begin{enumerate}
	\item Isoler le terme $U(n)$
	
	\item Calculer $U(n)$ pour $n=-1,0,1,2,3$
\end{enumerate}

\exo On considère la suite causale définie sur $\Z$ par $\dfrac{U(n)-U(n-1)}{0,1} + 2U(n) = 3ne(n)$

\begin{enumerate}
	\item Isoler le terme $U(n)$
	
	\item Calculer $U(n)$ pour $n=-1,0,1,2,3$
\end{enumerate}

\singlespacing

\exo On notera $U$ la fonction échelon unité définie sur l'ensemble des nombres réels telle que :
$
\begin{cases}
	U(t)=0\quad&\text{si } t<0\\
	U(t)=1\quad&\text{si } t\geq 0\\
\end{cases}
$. 
Une fonction définie sur l'ensemble des nombres réels est dite causale lorsque
cette fonction est nulle sur l'intervalle $]-\infty;0[$.

On note $e$ l'échelon causal discret, défini sur l'ensemble des nombres entiers
relatifs par :

\hfill$
\begin{cases}
	e(n)=0\quad&\text{si } n<0\\
	e(n)=1\quad&\text{si } n\geq 0\\
\end{cases}
$. 

On considère un système entrée-sortie du premier ordre. Le signal de sortie est
modélisée par une fonction causale $s$ telle que $s(0)=0$ et vérifiant
l'équation différentielle suivante :
\[
1,5s'(t)+2s(t)=1,7U(t)\qquad (Eq1)
\]


Une discrétisation de l'équation différentielle $(Eq1)$ avec un pas de discrétisation $T_e$ permet
d'obtenir, pour tout entier naturel $n$, la relation suivante :
$
1,5\frac{x(n+1)-x(n)}{T_e}+2x(n+1)=1,7 e(n)\qquad (Eq2)
$
Pour tout nombre entier $n$, le nombre réel $x(n)$ fournit une approximation de
$x(nT_e)$.

En particulier, on a : $x(0)=s(0)=0$. Pour toute la suite de l'exercice, on prend $T_e=0,1$ seconde.

\begin{enumerate}
	\item  Montrer que la relation $(Eq2)$ peut s'écrire, pour tout
	nombre entier positif ou nul, sous la forme :
	\[
	x(n+1)=\dfrac{15}{17}x(n)+\dfrac1{10}
	\]
	
	\item Remplir le tableau de valeurs ci-dessous avec les valeurs approchées à $10^{-3}$ près
	
	\begin{center}
		\begin{tabularx}{8cm}{|*{5}{>{\centering\arraybackslash$}X<{$}|}}
			\hline
			n&0&1&2&3\\
			\hline
			x(n)&&&&\\
			\hline
		\end{tabularx}
	\end{center}

\end{enumerate}

\end{document}
