% z transformée suite
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% ########################### MES PARAMETRES ##############################################################
\def\monnumero{ 6 }
\def\madate{Décembre 2024}
% ########################### MES PARAMETRES ##############################################################

% en-tete
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\lfoot{\scriptsize{\textsf{\textsc{Stéphane Le Méteil }}}}

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\begin{document}\everymath{\displaystyle}\onehalfspacing
\setdefaultleftmargin{0.6cm}{0.5cm}{}{}{}{}

\exo On considère une enceinte fermée et isolée. La température à l'extérieur est supposée
constante et égale à 15~\degres C.

À l'instant initial, la température à l'intérieur de l'enceinte est la
même qu'à l'extérieur. On chauffe l'enceinte durant $20$ secondes à une puissance constante
de \np{1300}~kW, puis on arrête le chauffage. 

On souhaite connaître la température de l'enceinte en fonction du temps $t$ exprimé en seconde.

\begin{center}
	\psset{unit=1cm}
	\begin{pspicture}(0,1)(14,6.5)
		\psframe(0,1)(14,6.5)
		\psframe(5.5,1.4)(10.5,5.4)
		\psframe(6,1.7)(10,5.1)
		\psline(4.3,4.7)(6.8,4.7)(6.8,4)
		\psframe(6.7,2.8)(6.9,4)
		\psline(6.8,2.8)(6.8,2)(4.3,2)
		\psline{->}(3.5,3.5)(6.8,3.5)
		\uput[r](1.4,4.7){$c(t)$ : puissance}
		\rput(9,6){Température extérieure : 15~\degres C}
		\uput[r](1.4,4.3){en kW}
		\uput[r](1.4,3.5){Système de}
		\uput[r](1.4,3.1){chauffage}
		\uput[r](7.2,3.7){$s(t)$ :}
		\uput[r](7.2,3.2){ température}
		\uput[r](7.2,2.7){de l'enceinte}
	\end{pspicture}
\end{center}

On note $c(t)$ la puissance de chauffe en kW à l'instant $t$ et $s(t)$ la température à l'intérieur de
l'enceinte à l'instant $t$.

On désigne par $ U$ la fonction échelon unité définie par $ U(t) = 0$ si $t < 0$ et $ U(t) = 1$ si $t \geqslant 0$.

Dans le système étudié, la fonction $s$ est solution de l'équation différentielle $(E)$ :

\[s'(t) + 0,2 s(t) = e(t),\]



où $e(t) = 3  U(t) + \dfrac{1}{130}c(t)$ et $s\left(0^+\right) = 0$.\bigskip

On se propose de déterminer $s(t)$ en utilisant la transformation de Laplace. On suppose que
$s$, $s'$ et $e$ admettent des transformées de Laplace.

On note $E(p) = \mathscr{L}(e(t))$ et $S(p) = \mathscr{L}(s(t))$, où $\mathscr{L}$ est la transformée de Laplace.

\medskip

\textbf{A. Étude du second membre de l'équation différentielle}

\medskip

\begin{enumerate}
	\item \emph{Cette question est une question à choix multiples. Une seule réponse est exacte.}
	
	On a $c(t) = \np{1300} \Big( U(t) -  U(t- 20)\Big)$. Indiquer la figure représentant la courbe de la fonction $c$.
	
	\medskip
	
	\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{\centering \arraybackslash}X}}
		\psset{xunit=0.08cm,yunit=0.002cm}
		\begin{pspicture}(-10,-200)(40,1500)
			\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=20,Dy=1300]{->}(0,0)(-5,-200)(40,1500)
			\psline[linewidth=2pt](-10,0)(0,0)(20,1300)
			\rput(20,1300){[}
			\psline[linewidth=2pt](20,0)(40,0)
			\psdots[dotscale=1.4](20,0)
		\end{pspicture}&
		\psset{xunit=0.08cm,yunit=0.002cm}
		\begin{pspicture}(-10,-200)(40,1500)
			\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=20,Dy=1300]{->}(0,0)(-10,-200)(40,1500)
			\psline[linewidth=2pt](-10,0)(0,0)
			\psline[linewidth=2pt](0,1300)(20,1300)
			\rput(20,1300){[}
			\psline[linewidth=2pt](20,0)(40,0)
			\psdots[dotscale=1.4](20,0)(0,1300)
		\end{pspicture}&
		\psset{xunit=0.08cm,yunit=0.002cm}
		\begin{pspicture}(-10,-200)(40,1500)
			\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=20,Dy=1300]{->}(0,0)(-10,-200)(40,1500)
			\psline[linewidth=2pt](-10,0)(20,0)
			\rput(20,0){[}
			\psline[linewidth=2pt](20,1300)(40,1300)
			\psdots[dotscale=1.4](20,1300)
		\end{pspicture}\\
		Figure 1 &Figure 2 &Figure 3\\
	\end{tabularx}
	\goodbreak
	\item Montrer que $e(t) = 13 U(t) -10  U(t- 20)$.
	\item Déterminer $\mathscr{L}( U(t))$ et $\mathscr{L}( U(t - 20))$.
	\item En déduire $E(p)$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{B. Transformée de Laplace \boldmath$S$ \unboldmath{} du signal de sortie}

\medskip

\begin{enumerate}
	\item Déterminer $\mathscr{L}(s'(t))$ en fonction de $S(p)$.
	\item  
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que $\mathscr{L}(s'(t) + 0,2s(t)) = (p + 0,2)S(p)$.
		\item En appliquant la transformation de Laplace aux deux membres de l'équation
		différentielle, montrer que $S(p) = \dfrac{13 - 10\text{e}^{-20 p}}{p(p + 0,2)}$.
	\end{enumerate}
	\item  Un logiciel de calcul formel fournit le résultat suivant. Ce résultat est admis et pourra être
	exploité dans cette question.
	
	\begin{center}
		\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{c|X}
			\multicolumn{2}{l}{$\triangleright$\textbf{Calcul formel}}\\\hline
			&ElémentsSimples$(1/(p*(p+0.2)),p)$\\
			1&$\to \dfrac{5}{p} - \dfrac{25}{5p + 1}$\\
		\end{tabularx}
	\end{center}
	
	En déduire que $S(p)$ peut s'écrire : $S(p) = \dfrac{65}{p} - \dfrac{325}{5p + 1} - \dfrac{50}{p} \text{e}^{-20p} + \dfrac{250}{5p+1}\text{e}^{-20p}.$
	
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{C. Expression du signal de sortie}

\medskip

\begin{enumerate}
	\item Un logiciel de calcul formel fournit le résultat suivant. Ce résultat est admis et pourra être
	exploité dans les questions suivantes.
	
	\begin{center}
		\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
			\small $>>>$inverse\_Laplace\_transform$(65/p-325/(5p+1 )-50/p*\text{exp}(-20p)+250/(5p+1)*\text{exp}(-20p), p, t)$\\
			$65 U(t) - 65\text{e}^{- \frac{1}{5}t}  U(t) - 50  U(t - 20) + 50\text{e}^{- \frac{1}{5}(t-20)} U(t - 20)$\\ \hline
		\end{tabularx}
	\end{center}
	
	\begin{enumerate}
		\item Préciser $s(t)$ sur l'intervalle $] - \infty~;~0[$.
		\item Soit $t$ un nombre réel dans l'intervalle [0~;~20[.
		
		Montrer que $s(t) = 65\left(1 - \text{e}^{ -\frac{1}{5}t}\right)$.
		\item  Soit $t$ un nombre réel dans l'intervalle $[20~;~+ \infty[$.
		
		Montrer que $s(t) = 15 - 65 \text{e}^{ -\frac{1}{5}t} + 50 \text{e}^{ -\frac{1}{5}(t-20)}$.
	\end{enumerate}
	\item  Déterminer la température de l'enceinte pour $t = 60$ secondes. Arrondir à $10^{- 2}$.
\end{enumerate}



\newpage



\exo La fonction échelon unité $ U$ est définie sur $\R$ par 

\[ U(t) =0 \:\text{si }\: t < 0\quad  \text{et }\:  U(t) = 1 \:\:\text{si } t \geqslant 0.\]

On considère un système électrique entrée-sortie. On note $s$ le signal de sortie associé au signal d'entrée $e$. Les fonctions $e$ et $s$ sont des fonctions causales, c'est-à-dire qu'elles sont nulles pour $t < 0$. On admet que les fonctions $e$ et $s$ admettent des transformées de Laplace notées respectivement $E$ et $S$. 

La fonction de transfert $H$ du système est définie par $S(p)= H(p) \times E(p)$.

\medskip

On considère le signal d'entrée $e$ définie sur $\R$ par $e(t) =  U(t) - 2 U(t - 1)$ et la fonction $H$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par $H(p) = \dfrac{1}{p+1}$.

\medskip

\begin{enumerate}
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $e(0,5)$ et $e(2)$.
		\item Tracer la courbe représentative de la fonction $e$ dans le repère orthonormé fourni en \textbf{Annexe}
		
		\emph{Remarque} : on pourra calculer entre autres $e( -0,5)$, $e(0)$, $e(0,9)$, $e(1)$.
	\end{enumerate}
	\item Pour tout $p > 0$, déterminer $E(p)$, $E$ étant la transformée de Laplace du signal $e$. (On pourra utiliser le formulaire donné).
	\item
	\begin{enumerate}
		\item Donner alors l'expression de $S(p)$.
		\item Vérifier que pour tout $p > 0$,\:$\dfrac{1}{p(p+1)} = \dfrac{1}{p} - \dfrac{1}{p+1}$.
		\item Justifier alors que pour tout $p > 0$, \: $S(p) = \dfrac{1}{p} - \dfrac{1}{p+1} - 2 \times \dfrac{1}{p}\times \text{e}^{-p} + 2\times \dfrac{1}{p+1}\times \text{e}^{-p}$.
	\end{enumerate}
	\item Compléter le tableau fourni en \textbf{Annexe }, avec l'original des fonctions suivantes :
	
	\[p \longmapsto \dfrac{1}{p}\:;\:p \longmapsto \dfrac{1}{p+1}\:;\:p \longmapsto \dfrac{1}{p}\text{e}^{-p}\:;\:p \longmapsto \dfrac{1}{p+1}\text{e}^{-p}\]
	
	En déduire l'expression de $s(t)$ sur l'intervalle [0~;~1[.
	\item  On admet que l'expression de la fonction $s$ sur $[1~;~+\infty[$ est : $s(t) = (2\text{e}-1)\text{e}^{-t} - 1$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $s(1)$.
		\item Compléter la courbe représentative de la fonction $s$ dans le repère orthonormé fourni dans l'\textbf{Annexe }.
		\item Donner la limite de la fonction $s$ en $+\infty$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\newpage

\hfil ANNEXES

\bigskip

\textbf{Question 1. b.} : Courbe du signal d'entrée $e$

\begin{center}
	\psset{unit=1.5cm,comma=true}
	\begin{pspicture*}(-4,-3)(1.5,2.5)
		\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=10]
		\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5,Dy=0.5,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-4,-3)(1.5,2.5)
	\end{pspicture*}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 4} : Tableau à compléter

\medskip
\renewcommand{\arraystretch}{3}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
	Transformée \rule[-3mm]{0mm}{9mm}&$p \longmapsto \dfrac{1}{p}$&$p \longmapsto \dfrac{1}{p+1}$&$p \longmapsto \dfrac{1}{p}\text{e}^{-p}$&$p \longmapsto \dfrac{1}{p+1}\text{e}^{-p}$\\ \hline
	Original&&&&\rule[-4mm]{0mm}{9mm}\\ \hline
\end{tabularx}

\bigskip

\textbf{Question 6} : Courbe du signal de sortie $s$

\begin{center}
	\psset{unit=1.9cm,comma=true}
	\begin{pspicture*}(-3,-2)(6,2)
		\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=10]
		\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5,Dy=0.5,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-3,-2)(6,2)
		\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](-3,0)(0,0)
		\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{1 2.71828 x neg exp sub}
	\end{pspicture*}
\end{center}

\end{document}
