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% ########################### MES PARAMETRES ##############################################################
\def\monnumero{ 3 }
\def\madate{ Octobre 2023}
% ########################### MES PARAMETRES ##############################################################

% en-tete
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée Schuman Perret\\ \madate}}} %gauche
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{Corrigé de la série d'exercices No\monnumero}}}}} %centre
\rhead{\footnotesize{\textsf{Cira 2 }}}%droit
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\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}}
\lfoot{\scriptsize{\textsf{\textsc{Stéphane Le Méteil }}}}

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}
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\begin{document}%\everymath{\displaystyle}
\setdefaultleftmargin{0.6cm}{0.5cm}{}{}{}{}
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\doublespacing

\exo Calculer les transformées des fonctions suivantes :

\begin{itemize}
  \item $f_1(t) = U(t-3)$\qquad {\red donc $F_1(t) = \dfrac{1}{p}e^{-3p}$}
  \item $f_2(t) = 4~U(t-2)$\qquad {\red donc $F_2(t) = \dfrac{4}{p}e^{-2p}$}
  \item $f_3(t) = (t-1)~U(t-1)$\qquad {\red donc $F_3(t) = \dfrac{1}{p^2}e^{-p}$}
  \item $f_4(t) = t~U(t) - (t-4)~U(t-4)$ \qquad {\red donc $F_4(t) = \dfrac{1}{p^2}\big(1-e^{-4p}\big)$}
  \item $f_5(t) = \sin\left(t-\frac{\pi}{4}\right)~U\left(t-\frac{\pi}{4}\right)$\qquad {\red donc $F_5(t) = \dfrac{1}{p^2+1}e^{-p\frac{\pi}{4}}$}
  \item $f_6(t) = e^{-8(t-1)}~U(t-1)$ \qquad {\red donc $F_6(t) = \dfrac{1}{p+8} e^{-p}$}
  \item $f_7(t) = t~U(t-1)${\red$ = (t-1+1)U(t-1) = (t-1)U(t-1) + U(t-1)$ \qquad donc $F_7(t) = \dfrac{1}{p^2}e^{-p}+\dfrac{1}{p}e^{-p}$}
\end{itemize}

\exo Retrouver les originaux des transformées suivantes :

\begin{itemize}
  \item $F_1(p) = \dfrac{1}{p^2}e^{-3p}$\qquad {\red donc $f_1(t) = (t-3)U(t-3)$}
  \item $F_2(p) = \dfrac{1}{p}e^{-p/2}$\qquad {\red donc $f_2(t) = U\big(t-\frac12\big)$}
  \item $F_3(p) = \dfrac{1}{p}(1-e^{-p})$\qquad {\red donc $f_3(t) = U(t) - U(t-1)$}
  \item $F_4(p) = \dfrac{2}{p^2}(1-2e^{-p}+e^{-2p})$\qquad {\red donc $f_4(t) = 2tU(t)~~-~~4(t-1)U(t-1)~~+~~2(t-2)U(t-2)$}
\end{itemize}

\exo Utiliser la transformée de Laplace pour résoudre les problèmes différentiels suivants :

\begin{enumerate}

\item $y'+3y = U(t) - U(t-1)$ sachant que $y(0) = 5$

{\red

\fbox{\'Etape${}_1$} : on transforme

L'équation différentielle avec sa condition initiale devient : $pY-5~~+~~3Y~~=~~\dfrac{1}{p}~~-~~\dfrac{1}{p}e^{-p}$

\fbox{\'Etape${}_2$} : on isole $Y$

On a : $(p+3)Y~= 5 + \dfrac{1}{p}\times \Big(1-e^{-p}\Big)$

Puis $Y = \dfrac{5}{p+3} + \dfrac{1}{p(p+3)}\times \Big(1-e^{-p}\Big)$

\fbox{\'Etape${}_3$} : on décompose le terme $G(p) = \dfrac{1}{p(p+3)}$

$G(p) = \dfrac{1}{p(p+3)} = \dfrac{A}{p} + \dfrac{B}{p+3}$

$A = \lim\limits_{p\to 0}p\times G(p) = \dfrac13 = A+0$

$B = \lim\limits_{p\to -3}(p+3)\times G(p) = -\dfrac13 = 0+B$

Finalement : $G(p) = \dfrac13~\dfrac{1}{p}~~-~~\dfrac13\dfrac{1}{p+3}$

Puis $Y = \dfrac{5}{p+3} + \left(\dfrac13~\dfrac{1}{p}~~-~~\dfrac13\dfrac{1}{p+3}\right) \times \Big(1-e^{-p}\Big)$

\fbox{\'Etape${}_4$} : on reconnaît les originaux

$y(t) = 5e^{-3t}U(t) + \Big(\dfrac13 U(t)-\dfrac13 e^{-3t}U(t)\Big)  -  \Big(\dfrac13 U(t-1)-\dfrac13 e^{-3(t-1)}U(t-1)\Big)$

Simplifions cette expression suivant les intervalles où se trouve $t$

\begin{minipage}{0.45\linewidth}

\begin{itemize}

\item Si $t<0$ alors $U(t) = 0$ et  $U(t-1)=0$

 donc $y(t ) =  0$

\item Si $0\leqslant t <1$ alors $U(t) = 1$ mais $U(t-1) = 0$

 $y(t) = 5e^{-3t} + \dfrac13 -\dfrac13 e^{-3t}$

 donc $y(t) = \dfrac{14}{3} e^{-3t}+\frac13$

\item Si $t\geqslant 1$ alors $U(t) = 1$ et $U(t-1) = 1$

 $y(t) = 5e^{-3t} + \dfrac13 -\dfrac13 e^{-3t} -  \dfrac13 {\Large \black + } \dfrac13 e^{-3t+3}$

 $y(t) = \dfrac{14}{3}e^{-3t}  + \dfrac13 e^{-3t+3}$

 donc $y(t) = \dfrac{1}{3}e^{-3t} (14 + e^{3})$

\end{itemize}

\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.55\linewidth}
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\begin{pspicture*}(-0.5,-0.3)(2.572,5.3)
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\rput(2.5,0.2){$t$}
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\end{pspicture*}
\end{minipage}

}

\item $y'+2y = (t-1)U(t-1)$ sachant que $y(0) = 0$

{\red

\fbox{\'Etape${}_1$} : on transforme

L'équation différentielle avec sa condition initiale devient : $pY-0~~+~~2Y~~=\dfrac{1}{p^2}e^{-p}$

\fbox{\'Etape${}_2$} : on isole $Y$

On a : $(p+2)Y =  \dfrac{1}{p^2}\times e^{-p}$

Puis $Y = \dfrac{1}{(p+2)p^2}\times  e^{-p}$

\fbox{\'Etape${}_3$} : on décompose le terme $G(p) = \dfrac{1}{p^2(p+2)}$

$G(p) = \dfrac{1}{p^2(p+2)} = \dfrac{A}{p^2} + \dfrac{B}{p}+\dfrac{C}{p+2}$

$A = \lim\limits_{p\to 0}p^2\times G(p) = \dfrac12 = A+0+0$

$C = \lim\limits_{p\to -2}(p+2)\times G(p) = \dfrac14 = 0+0+C$

Pour $B$ on calcule $\lim\limits_{p\to +\infty}p\times G(p) = 0 = 0+B+C$ donc $B = -C = -\dfrac14$

Finalement : $G(p) = \dfrac12~\dfrac{1}{p^2}~~-~~\dfrac14\dfrac{1}{p}~~+~~\dfrac14\dfrac{1}{p+2}$

Puis $Y = \left(\dfrac12~\dfrac{1}{p^2}~~-~~\dfrac14\dfrac{1}{p}~~+~~\dfrac14\dfrac{1}{p+2}\right) \times e^{-p}$

\fbox{\'Etape${}_4$} : on reconnaît les originaux

$y(t) = \dfrac12 (t-1) U(t-1) - \dfrac14 U(t-1) + \dfrac14 e^{-2(t-1)}U(t-1)$

Simplifions cette expression suivant les intervalles où se trouve $t$

\begin{itemize}

\item Si $t<1$ alors $U(t-1)=0$

\qquad donc $y(t ) =  0$

\item Si $1\leqslant t $ alors  $U(t-1) = 0$

\qquad $y(t) = \dfrac12 t-\dfrac34 + \dfrac{e^2}{4}e^{-2t}$

\end{itemize}

}

\item $y''+2y = U(t-2)$ sachant que $y(0) = 0$ et $y'(0) = 0$

{\red

\fbox{\'Etape${}_1$} : on transforme

L'équation différentielle avec sa condition initiale devient : $pY-0~~+~~2Y~~=\dfrac{1}{p^2}e^{-p}$

\fbox{\'Etape${}_2$} : on isole $Y$

On a : $p(pY-0)-0 + 2Y =  \dfrac{1}{p}\times e^{-2p}$

Puis $Y = \dfrac{1}{(p^2+2)p}\times  e^{-2p}$

\fbox{\'Etape${}_3$} : on décompose le terme $G(p) = \dfrac{1}{p(p^2+2)}$

$G(p) = \dfrac{1}{p(p^2+2)} = \dfrac{A}{p} + \dfrac{Bp+C}{p^2+2}$

$A = \lim\limits_{p\to 0}p\times G(p) = \dfrac12 = A+0$

pour $B$ et $C$, on calcule $\lim\limits_{p\to i\sqrt{2}}(p^2+2)\times G(p) = \dfrac{1}{i\sqrt{2}} = 0+Bi\sqrt{2} + C$

On a alors : $\dfrac{-i}{\sqrt{2}} = Bi\sqrt{2} + C$

donc $C=0$ en identifiant les parties réelles de chaque côté du signe $=$

et $\dfrac{-1}{\sqrt{2}} = B\sqrt{2}$ en identifiant les parties imaginaires. C'est qui donne $B = \dfrac{-1}{2}$

Finalement : $G(p) = \dfrac12~\dfrac{1}{p}~~-~~\dfrac12\dfrac{p}{p^2+2}$

Puis $Y = \left(\dfrac12~\dfrac{1}{p}~~-~~\dfrac12\dfrac{p}{p^2+2}\right) \times e^{-2p}$

\fbox{\'Etape${}_4$} : on reconnaît les originaux

On commence par donner l'originale de $\dfrac12~\dfrac{1}{p}~~-~~\dfrac12\dfrac{p}{p^2+2}$ qui est $\dfrac12 U(t)-\dfrac12\times \cos(t\sqrt{2})~U(t)$

Que l'on retarde de deux unités de temps. Pour cela on remplace chaque $t$ par un $(t-2)$

Cela donne

$y(t) = \dfrac12 U(t-2)-\dfrac12\times \cos((t-2)\sqrt{2})~U(t-2)$


Simplifions cette expression suivant les intervalles où se trouve $t$

\begin{itemize}

\item Si $t<2$ alors $U(t-2)=0$

\qquad donc $y(t ) =  0$

\item Si $2\leqslant t $ alors  $U(t-2) = 0$

\qquad $y(t) = \dfrac12 -\dfrac12\times \cos((t-2)\sqrt{2})$

\end{itemize}

}

\end{enumerate}

\end{document} 