\documentclass[a4paper,11pt]{article}
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\renewcommand {\footrulewidth}{0pt}
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\pagestyle{fancy}
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\usepackage{tabularx}
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%\usepackage{setspace}
\usepackage{dsfont}
\usepackage[np]{numprint}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{eso-pic} % pour avoir un trait de marge vertical
\usepackage{multicol}
\usepackage [alwaysadjust]{paralist}
\usepackage{colortbl}
\usepackage{eurosym}
\usepackage{spreadtab} % pour une tabulation automatique
%\usepackage{enumitem} % pour des puces différentes dans des listes
\usepackage{enumerate}
\usepackage{setspace}
\frenchbsetup{StandardLists=true} % pour des points au lieu des tirets pour les listes par défaut

\setdefaultenum {1.}{a)}{}{}
\hyphenpenalty 10000 % empèche la coupure de mots
\renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}} %centrage vertical des cellules d'un tableau tabularx

\newcommand{\R}{\mathds {R}}
\newcommand{\N}{\mathds {N}}
\newcommand{\Z}{\mathds {Z}}
\newcommand{\Q}{\mathds {Q}}
\newcommand{\C}{\mathds {C}}

\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}

\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}

\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{i},~\vect{j}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\def\ds{\displaystyle }
\def\tvi{\vrule height 15pt depth 10pt width 0pt }

\DecimalMathComma

% ########################### MES PARAMETRES ##############################################################
\def\monnumero{ 8 }
\def\madate{ Mars 2023}
% ########################### MES PARAMETRES ##############################################################

% en-tete
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée Schuman Perret\\ \madate}}} %gauche
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{série d'exercices}}}}} %centre
\rhead{\footnotesize{\textsf{Cira 2 }}}%droit
%pied de page
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}}
\lfoot{\scriptsize{\textsf{\textsc{Stéphane Le Méteil }}}}

\setlength{\columnseprule}{0.5pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}
\setlength{\parindent}{0mm}

\newcounter{nexo}\setcounter{nexo}{0}
\newcommand{\exo}{\bigskip  \stepcounter{nexo} \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\small{EXERCICE~\arabic{nexo}}}}}}}\quad}
\def\taille{\vrule height 25pt depth 20pt width 0pt }

\usepackage{paralist}

\newlength{\positionbarre}
\setlength{\positionbarre}{1.7 cm}% à changer selon les besoin
\AddToShipoutPicture{%
\put(\LenToUnit{\positionbarre},\LenToUnit{0.05\paperheight}){\begin{picture}(0,0)(0,0) \color{red}\line(0,1){\LenToUnit{0.85\paperheight}}\end{picture}}
}
\makeatother

\newcounter{nf}           % déclaration du numéro d'exo
\setcounter{nf}{0}        % initialisation du numero

\def\f#1.{\bigskip
  \stepcounter{nf}
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\small{$f_{\arabic{nf}}(x) = #1 $}}}}}}}

\def\g#1.#2.{\bigskip
  \stepcounter{nf}
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\small{$f_{\arabic{nf}}(x) = #1 $}}}}~sur $#2$}}}


\def\fp#1.{\bigskip
  \stepcounter{nf}
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\small{$f'_{\arabic{nf}}(x) = #1 $}}}}}}}

\begin{document}%\everymath{\displaystyle}
\setdefaultleftmargin{0.6cm}{0.5cm}{}{}{}{}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{minipage}{0.99\linewidth}\onehalfspacing

{\bf Rappel } :

$F$ est une primitive de $f$ signifie $F'=f$ \bigskip

\end{minipage}

\exo Déterminer les primitives des fonctions suivantes

\begin{multicols}{3}

\f 3x+1.

\f 5x^2-x+4.

\f \sin(30x).

\f \cos(15x).

\f 2\cos(4x).

\f \dfrac{2}{x}.

\f \dfrac{2}{5x}.

\f \dfrac{1}{2x+1}.

\f \dfrac{-5x}{3x^2+1}.

\f \dfrac{1}{x(x+1)}.

\f \dfrac{1}{x^2+1}.

\end{multicols}

{\bf Rappel } :

$\ds\int_a^b f(t)\text{d}t = F(b)-F(a)$ lorsque $F$ est une primitive de $f$ sur $[a;b]$\bigskip

\exo Calculer les intégrales suivantes : \setcounter{nf}{0}

\begin{multicols}{3}

$\blue \ds\int_0^1 x^2\text{d}x$

\tvi

$\blue \ds\int_{-\pi}^{\pi} \cos(x)\text{d}x$

\tvi

$\blue \ds\int_{-\pi}^{\pi} \sin(x)\text{d}x$

\tvi

$\blue \ds\int_{-\pi}^{\pi} \dfrac{e^{x}-e^{-x}}{2}\text{d}x$

\tvi

$\blue \ds\int_{0}^{1} \dfrac{x}{x^2+1}\text{d}x$

\tvi

$\blue \ds\int_{0}^{1} \dfrac{3}{5x+1}\text{d}x$

\end{multicols}

{\bf Rappel } : lorsque $f$ est intégrable sur $[a;b]$, la valeur moyenne de $f$ sur l'intervalle $[a;b]$ est le nombre, souvent noté $f_{moy}$ défini par  $\ds f_{moy}= \dfrac{1}{b-a}\int_a^b f(t)\text{d}t$


\exo Calculer les valeurs moyennes suivantes : \setcounter{nf}{0}

\begin{multicols}{3}

\g x.[0;10].

\g x^2.[0;2].

\g 3x+1.[0;1].

\g \sin(x).[0;\frac{\pi}{2}].

\g \cos(2x).[0;\frac{\pi}{3}].

\g \sin(x)\cos(x).[0;\frac{\pi}{2}].

\end{multicols}

{\bf Rappel } : 

puisque $(uv)'= u'v+uv'$, on a : $uv'=(uv)'-u'v$ donc $\int uv' = [uv]-\int u'v$

On nomme cela "intégration par partie"

\exo Déterminer les primitives des fonctions suivantes
\setcounter{nf}{0}
\begin{multicols}{2}

\f 2te^t.

\f te^{3t}.

\f (2t+1)e^{3t}.

\f t^2e^{t}.

\f t\cos(t).

\f 3t\sin(t).

\f (1-5t)e^{-2t}.

\f \dfrac{12t-1}{5}e^{-t/2}.

\end{multicols}


\bigskip

\end{document}

